Путеводитель для влюбленных в математику | страница 30
Числа π и
Рациональные числа выражаются через соотношение целых чисел; скажем, 5/2, – 2/3, 7/1. Иными словами, это решения уравнений вида ax + b = 0, где a и b – целые числа. Например, 5/2 – это решение уравнения 2x – 5 = 0.
Число
А что насчет π? Оно иррационально и, конечно, тоже не является решением линейного уравнения с коэффициентами среди целых чисел. Может быть, оно является решением какого-нибудь квадратного уравнения с коэффициентами среди целых чисел: ax² + bx + c = 0? Придется вас разочаровать, это не так. А может, стоит повысить степень? Кубическое уравнение ax³ + bx² + cx + d = 0? Снова нет. Биквадратное? Уравнение пятой степени? Сотой? Миллионной?..
На самом деле число π не является решением полиномиального уравнения любой степени с целочисленными коэффициентами. Другими словами, нет такого уравнения
a>nxⁿ + a>n>–1xⁿ>–1 + … + a>2x² + a>1x + a>0 = 0
(где любое a>k представляло бы собой целое число), куда можно было бы подставить π вместо x, чтобы все сошлось. Это и означает, что число π трансцендентное.
Странным образом число π встречается в областях математики, не имеющих ничего общего ни с кругами в частности, ни с геометрией в целом. Например, число π мистически входит в формулу Стирлинга для вычисления приблизительного значения факториалов (см. главу 10). А сейчас мы узнаем, как наше заветное число связано с важным свойством очередного вида целых чисел – взаимно простых.
Два положительных целых числа называют взаимно простыми, если их единственный общий делитель равен 1 (при этом по отдельности они могут быть и составными).
Например, присмотримся к числам 15 и 28. У них следующие делители:
Таким образом, 15 и 28 взаимно простые.
С другой стороны, числа 21 и 35 не взаимно простые, потому что оба делятся на 7.
Сыграем в кости? Какова вероятность того, что очки, выпавшие на обоих кубиках, будут взаимно простыми?
С равной вероятностью любой из них может выпасть гранью с цифрой 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Каким бы ни был результат на первому кубике, второй выпадет по-своему независимо от него. Там тоже 6 вариантов. Всего это дает 36 комбинаций:
Все эти варианты равновероятны. С помощью таблицы мы можем вычислить, скажем, вероятность того, что сумма чисел на гранях двух кубиков будет равна 7. Это произойдет в шести случаях: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) и (6, 1). Таким образом, вероятность такого события равна
