Путеводитель для влюбленных в математику | страница 22
Однако грекам было непросто расстаться с верой в связь арифметики и геометрии. В основе этой веры лежали представления об эстетике. Неужели не все числа можно выразить с помощью линейки без делений и циркуля?
Эта вера подкреплялась решениями двух из трех знаменитых древнегреческих геометрических задач. Наиболее известна задача о трисекции угла: с помощью линейки без делений и циркуля нужно поделить заданный угол на три равных угла[45].
Менее известны две другие головоломки:
• Удвоение куба. Необходимо найти длину ребра куба, чей объем в два раза больше заданного. Если длина ребра первого куба – единица, это равносильно построению отрезка длиной
• Квадратура круга. Необходимо построить квадрат, чья площадь равна площади заданного круга. Если радиус круга равен единице, его площадь равна π. Тогда сторона квадрата будет равна
Понадобилось две тысячи лет, чтобы понять: эти задачи неразрешимы[46]. Ни
Существование неконструктивных чисел опровергает связь между арифметикой и геометрией, гревшую сердца древним грекам, которые решали задачи на построение с линейкой без делений и циркулем.
Если музыканты перед концертом не настроили инструменты, возникает акустический диссонанс: музыка становится неблагозвучной.
Когда на двух инструментах берут одинаковые ноты, акустическая частота звуковых волн оказывается одинаковой. Рассогласованность же действует слушателю на нервы. Впрочем, можно брать и разные ноты, и музыка все равно будет ласкать слух, если эти ноты гармонируют друг с другом. Но как достичь гармонии? Что именно нам приятно слышать?
Этот вопрос волновал еще древних греков. Они выяснили, что, если акустические частоты соотносятся как малые целые числа (например, 2 и 3), сочетание нот ласкает слух. Так был открыт первый музыкальный строй (по легенде, его создал Пифагор[48]). Подбирая частоты для нот, важно выполнить главное требование: частоты нот, находящихся на противоположных концах октавы, должны соотноситься примерно как 2:1. Ради гармоничных звуков древние греки подбирали ноты так, чтобы парное соотношение частот до и фа, а также до и соль выражалось малыми целыми числами. В пифагорейском варианте соотношение между частотами соседних нот было равно 9/8 для целого тона (например, между
