Путеводитель для влюбленных в математику | страница 20
Начнем с того, что, если возвести в квадрат 0, получится 0, а если возвести в квадрат 1, получится 1. Наша цель 2, а найденные числа меньше. С другой стороны, если возвести в квадрат 2, мы получим 4, а если возвести в квадрат 3, получим 9. Это больше, чем нам нужно.
1² – слишком ма́ло, 2² – слишком много. Попробуем найти величину между 1 и 2, перемещаясь с шагом 0,1, как показано в таблице.
Легко заметить: 1,4 слишком мало для квадратного корня из двух, а 1,5 – слишком велико. Следовательно, √2 лежит между этими двумя величинами.
Продолжим в том же духе. Будем возводить в квадрат числа между 1,4 и 1,5, двигаясь с шагом 0,01. Мы обнаружим, что 1,41² = 1,9881, а 1,42² = 2,0164. Из этого можно сделать умозаключение, что
Мы можем двигаться таким образом все дальше и дальше, приближаясь к √2
Рано или поздно мы либо успокоимся (достигнув числа, фантастически близкого к
Но что означает это «точно»?
Разумный способ определить точное значение числа – представить его в виде рационального числа, то есть отношения двух целых чисел. Если бы мы сумели представить √2 в виде дроби
Увы, но такое невозможно. Однако это нужно доказать.
Теорема. √2 не является рациональным числом.
Будем идти от противного, как и в главе 1, где мы подсчитывали количество простых чисел. Предположим, что √2 – рациональное число. Если это допущение приведет к абсурдным выводам, значит, оно несостоятельно.
Итак, приступим. Если √2 – рациональное число, его можно выразить в виде отношения двух целых чисел:
Возведем обе части тождества в квадрат:
Раскроем скобки:
Таким образом:
или:
2b² = a². (С)
Если a – целое число, мы можем разложить его на простые множители, причем (согласно основной теореме арифметики) одним-единственным способом:
a = p>1 × p>2 × … × p>n.
Проделаем аналогичную процедуру с b:
b = q>1 × q>2 × … × q>m.
Следовательно, левую часть равенства (С) можно представить в таком виде:
2b² = 2 × (q>1 × q>2 × … × q>m)² = 2 × (q>1 × q>1) × (q>2 × q>2) × … × (q>m × q>m).
Несложно заметить, что 2b² раскладывается на нечетное число простых множителей.
Аналогично поступаем с правой частью (С):
a² = (p>1 × p>2 × … × p>n) ² = (p>1 × p>1) × (p>2 × p>2) × … × (p>n × p>n).
В отличие от 2b², выражение a² раскладывается на четное число простых множителей.
Подытожим. В соответствии с нашим предположением 2
