Путеводитель для влюбленных в математику | страница 16
Мы обнаружили, что 10100 + 1110 = 100010.
Переведем это на язык десятичных чисел:
10100>2 = 20, 1110>2 = 14, 100010>2 = 34.
Разумеется, 20 + 14 = 34.
Умножение в двоичной системе проще, чем в десятичной. Достаточно усвоить два принципа: сложение двоичных чисел (мы в нем только что разобрались) и умножение на степени двойки.
Умножение числа на 10 в десятичной системе не представляет сложности: мы просто добавляем цифру 0 справа: 23 × 10 = 230. Точно так же выглядит умножение на 2 в двоичной системе: 1101 × 10 = 11010. В случае десятичных чисел это очевидно, в случае двоичных 1101 означает:
× 8 + × 4 + × 2 + × 1.
Умножение на 2:
× 16 + × 8 + × 4 + × 2 + × 1.
Лишний ноль на конце дает 11010.
Умножение на 4, 8 и другие степени двойки тоже просто: например, умножение на 8>10 (1000>2) равнозначно приращению трех нулей с правой стороны числа.
Итак, умножение превращается в игру «перемести-и-добавь-цифры». Проиллюстрируем это на примере умножения 11010 на 1011. Для начала запишем второе число так:
1011 = 1000 + 10 + 1.
Умножение на 11010 можно представить так:
11010 × 1011 = 11010 × (1000 + 10 + 1) = 11010 × 1000 + 11010 × 10 + 11010 × 1 = 11010 + 11010 + 11010.
Удобнее умножать в столбик:
А вот и ответ:
Давайте переведем числа в десятичные, чтобы удостовериться, что все правильно:
11010>2 = 16 + 8 + 2 = 26;
1011>2 = 8 + 2 + 1 = 11;
100011110>2 = 256 + 16 + 8 + 4 + 2 = 286.
Мы не ошиблись: 26 × 11 = 286.
В десятичной системе мы можем записывать не только целые числа. Если поставить в конце запятую[35], мы получим новые места для цифр: по мере движения вправо степени десяти будут все меньше. Например, 34,27 – это компактный способ записи такого выражения:
Двоичная система тоже позволяет записывать дробные значения. Каждую следующую цифру после запятой[36] мы умножаем на предыдущую степень двойки. Например, 101,011>2 означает:
Непривычный способ записать одну вторую: 0,1>2!
Есть и другие системы счисления, помимо десятичной, единичной и двоичной[37]. В третичной системе мы пользуемся цифрами 0, 1 и 2, здесь все строится на степенях тройки. Скажем, 1102>3 означает:
1 × 27 + 1 × 9 + 0 × 3 + 2 × 1 = 38.
В дробях первая позиция справа от запятой означает умножение на одну третью, вторая позиция – на одну девятую и т. д.:
Если представить 42 в виде суммы степеней двойки, мы увидим, что это 101010. А число 11011 можно представить как 16 + 8 + 2 + 1 = 27.
