Путеводитель для влюбленных в математику | страница 14

• Реновация школ в нашем округе обойдется в 23000000 долларов.

• Реновация школ в нашем округе обойдется в 23 млн долларов.

Разумеется, я не стал разделять разряды в первом случае, чтобы число было сложнее прочесть (и я попал в точку, не правда ли?). Но, даже если проставить пробелы, фраза «Пентагон требует дополнительные 19 000 000 000 долларов» сложнее для восприятия, чем «Пентагон требует дополнительные 19 млрд долларов». Иногда удобнее использовать слова вместо чисел.

Мнимое преимущество позиционной системы счисления[29] – это то, что в ней проще производить вычисления. Но давайте задумаемся о том, сколько сил уходит на перемножение двух чисел. Во-первых, нам необходимо запоминать дополнительные математические данные. К тому же мы обязаны помнить таблицу умножения. Во-вторых, мы проделываем многоуровневую процедуру: сортируем числа по разрядам, умножаем по соответствующему правилу, получаем промежуточные данные, складываем.

Да, десятичные числа легче перемножать, чем их римские аналоги, однако это по-прежнему утомительно. Возникает вопрос, есть ли способ записывать числа, который бы облегчал вычисления. Мы выяснили, что да, есть, но для этого придется пожертвовать наглядностью.

Простейший способ записи чисел – единичная система счисления: мы просто записываем столько же символов (будем использовать цифру 1), сколько единиц в интересующем нас числе. Например, число 3 окажется трехзначным: 111. Сложение и умножение становятся исключительно простыми. Чтобы сложить 3 и 5, мы просто запишем два числа, 111 и 11111, друг за другом (без пробела) – и вот он, ответ: 11111111. Умножать тоже просто. Мы запишем одно число вертикально, а другое горизонтально и получим следующую таблицу:

Затем мы заполним таблицу, поставив единичку в каждом столбце и в каждой колонке:

Наконец, мы выпишем все единички в ряд и получим ответ: 111111111111111. Складывать и перемножать числа в единичной системе счисления существенно проще, чем десятичные или римские числа[30].

Разумеется, такая простота вычислений дается ценой титанических затрат внимания и времени. Никому не захочется прибегать к этому методу, чтобы перемножить 47 и 924.

Числа, записанные в двоичной системе счисления[31], не так привычны нам, как десятичные или римские, но с ними проще делать вычисления. Вот почему в компьютерах используется именно двоичная система. Чтобы разобраться, как она устроена, нам нужно припомнить особенности десятичной системы.