Математика и криптография : тайны шифров и логическое мышление | страница 22

А теперь я расскажу, почему эта операция так полюбилась криптографам. Всё просто. Пусть у тебя есть два различных числа — X и Y. Если применить операцию XOR к этим числам, то получится новое число Z = (X ⊕ Y). А если теперь к числу Z снова применить операцию XOR c числом Y, то результатом будет не что иное, как X!

Для примера давай вернемся к паре чисел, что мы рассматривали немного выше. Возьмем результат выполнения над ними операции XOR (10010), и теперь применим к нему эту операцию с тем же самым числом 11011:

Что получилось? Правильно, первое число — 01001.

Это важное свойство обратимости результата постоянно используется в криптографии. Давай посмотрим почему.

Напомню, что на прошлой неделе мы ввели новый алфавит, состоящий из тридцати двух символов, включая пробел. Каждому символу было сопоставлено пятизначное двоичное число от 00000 до 11111. Собственно, после этого уже было все понятно: мы же можем применять к кодам символов операцию XOR! Действительно, такое применение — просто другой способ использования шифра подстановки. Но этот способ намного проще: не надо искать соответствия в таблицах, а можно просто применить операцию XOR. Причём и для шифрования, и для расшифровки необходимы одинаковые действия.

Давай рассмотрим этот процесс на примере. Пусть нам необходимо зашифровать слово «ОГОНЬ». В качестве ключа возьмём единственную букву «Р». Вот что получится:

Так из слова «ОГОНЬ» получилось слово «ЮФЮЯЙ». Расшифровка происходит таким же образом:

Математически это можно записать так: «ОГОНЬ ⊕ РРРРР = ЮФЮЯЙ» и «ЮФЮЯЙ ⊕ РРРРР = ОГОНЬ». Как ты понимаешь, сейчас мы использовали просто шифр подстановки с одноалфавитной заменой. Это неинтересно. Интересно здесь то, что шифрование и расшифровка происходят при помощи одного и того же действия.

Теперь рассмотрим иной пример. Пусть нам опять надо зашифровать слово «ОГОНЬ», но теперь в качестве ключа мы будем использовать слово «МАГИЯ». Что получится? А вот что:

Абсолютно так же производится расшифровка:

Получается, что мы теперь можем «складывать» друг с другом целые слова: «ОГОНЬ ⊕ МАГИЯ = БДКЖГ». Это действительно какая-то магия. Только что мы при помощи этой прекрасной операции XOR применили шифр многоалфавитной замены, который изучали на второй неделе. Одна и та же операция позволяет применять сразу два шифра, которые мы уже изучили. Это прекрасно!

Само собой разумеется, этот процесс можно упростить. Ведь очевидно, что результат применения операции XOR никогда не меняется. Поэтому можно запросто составить таблицу вроде той, которую мы сделали на второй неделе, только теперь в ячейках на пересечении строк и столбцов будут буквы, получающиеся в результате применения операции XOR. Вот такая таблица получается: (см. на следующем развороте).