Стратегии решения математических задач | страница 34

Второе выражение можно упростить, разбив числа на простые множители следующим образом:

И у Вольфганга, и у Людвига есть целое число евро, причем каждое из них меньше 100. Когда они посчитали свои деньги, оказалось, что три четверти суммы Вольфганга равны двум третям суммы Людвига. Какое максимальное число евро может быть у каждого из них?

Первая реакция — применить алгебраический подход. Мы можем составить одно уравнение с двумя неизвестными. Пусть W представляет количество евро у Вольфганга, а L — количество евро у Людвига. Наше уравнение имеет следующий вид:

Умножим обе части уравнения на 12 и получим: 9W = 8L. Решение уравнения для W дает следующий результат:

Поскольку у каждого из мальчиков по целому числу евро, сумма Людвига должна быть кратной 9, т. е. 9, 18, 27, 36, …, 99. Теперь можно подставить каждое из этих чисел в уравнение и определить количество евро у Людвига. Наибольшее количество евро, которое может иметь Людвиг, составляет 11 × 9, или 99 евро (менее, чем 100). Мы знаем, что

Воспользуемся арифметическим подходом и взглянем на задачу с другой точки зрения. Поскольку

Если у Вольфганга 8 евро, а у Людвига 9 евро, то части их сумм становятся одинаковыми и равными 6 евро. Поэтому ответ должен быть равен произведению одного и того же множителя на 8 и 9. Таким образом, наибольшая сумма, которую может иметь Людвиг, составляет 11 × 9, или 99 евро, а наибольшая сумма Вольфганга — 11 × 8, или 88 евро.

Ответ можно проверить, определив величину

На рис. 4.3 ширина прямоугольника AEFK равна AK = 8, а длина AE разделена на четыре части AB = 1, BC = 6, CD = 4 и DE = 2. Чему равна площадь четырех закрашенных треугольников?

Очевидный подход — найти площадь каждого из четырех треугольников и сложить их. Во всех четырех случаях высота треугольника равна ширине прямоугольника AK = 8. Таким образом, площади четырех треугольников составляет:

Сумма этих площадей равна 4 + 24 + 16 + 8 = 52.

Воспользуемся нашей стратегией принятия другой точки зрения на решение задачи. Треугольники имеют одну и ту же высоту, а именно 8. Сумма оснований четырех треугольников равна длине прямоугольника, т. е. 13. Таким образом, площадь четырех закрашенных треугольников равна половине площади прямоугольника, или