- Да, обе задачи, - как лучший ученик по математике он в принципе не ждал от учительницы особых неприятностей.
- До конца урока осталось ещё 25 минут, я предлагаю тебе попробовать решить олимпиадную задачу по геометрии. Есть ограничение, использовать уравнение нельзя, - Зоя Николаевна положила перед ним листочек с условием и направилась к учительскому столу.
Так, посмотрю что за задача.
Напротив угла треугольника равного 60-ти градусам располагается сторона длиной 13см. Одна из остальных двух сторон больше другой на 8см. Найти длину этих сторон.
Выглядит не слишком сложно. Витя переписал условие в тетрадь и нарисовал треугольник.
0x01 graphic
Самое простое, если угол C=90градусов, но из условий задачи это никак не вытекает. Попробовать провести перпендикуляр из вершины C на сторону AB?
0x01 graphic
В этом случае получаются два прямоугольных треугольника ACD и BCD, но в первом известен только угол и ни одной стороны, а во втором только гипотенуза и больше ничего. Конечно, можно обозначить AC за x, тогда AD будет равно x/2, DC также получу через x. Затем выражу BD через x и получу финальное уравнение: AD через x плюс BD через x равно x плюс 8. К сожалению, уравнения использовать нельзя.
Витя погрузился в размышления. Выходит, что без уравнения я никак не могу использовать число 8 - разницу между сторонами AC и AB, значит нужно как-то вынести в один прямоугольный треугольник хотя бы пару известных величин. До конца урока оставалось уже немного времени, когда лучшего ученика 7-ого А класса осенило, и он, стерев перпендикуляр CD, отложил от вершины A на стороне AB отрезок, равный AC и провёл прямую от вершины C через полученную точку, а на полученную прямую перпендикуляр из вершины B.
0x01 graphic
Сразу всё стало ясно - треугольник ACD равносторонний, значит угол ADC=60град. и угол BDE=60град., а угол DBE=30град. и катет DE равен половине гипотенузы, а именно 4см. Сторона BE равна корню из 64-16, то есть корню из 48.
Корень из 48 точно не извлекается, Витя на секунду задумался, а, собственно, зачем мне его извлекать, ведь всё равно потребуется квадрат стороны BE, чтобы отнять его от квадрата гипотенузы BC. Итак: 169-48=121, EC равняется корню из 121, то есть 11, DC=AC=11-4=7, AB=7+8=15. Задача решена!
Он поднял руку.
- Белов, ты хочешь что-то сказать?
- Да, я решил эту задачу.
Учительница подошла к нему, взяла тетрадь, внимательно изучила рисунок и бегло просмотрела написанное.
- Да, верно, решение несложное, но изящное, я решала через уравнение.
