Зимовка Лаптева в Хатангской губе, около устья реки Блудной, прошла благополучно, без болезней и потерь. А весной 1740 года были возобновлены работы: геодезист Чекин с девятью собачьими упряжками и восемнадцатью оленями направился через тундру к устью реки Таймыры, чтобы провести описание берега до устья Пясины. Вёрст триста прошёл Чекин до озера в горах Бырранга и ещё триста до устья Таймыры, а там на запад — со съёмкой. На карту лёг стокилометровый участок побережья. На 76° 26’ с. ш. поставил Чекин свой маяк, а дальше не пошёл, потому что кончился корм для собак. В Хатангское зимовье он вернулся через два месяца, в конце мая, «с крайнею нуждою».
Когда Чекин вернулся, Лаптев отправил на Таймырское озеро две группы аборигенов для заготовки рыбы и организации склада. После того как вскрылся лёд на озере (в июле), эта рыбацкая бригада на лодке спустилась в устье Таймыры. Туда направил Лаптев «Якутск». Удалось пройти вдоль таймырского побережья не более двухсот вёрст, и судно попало во льды. Течение и ветер загнали его в ловушку, из которой судно не выбралось. У «Якутска» был обломан форштевень и пробит борт.
24 августа не выдержавший давления льдов «Якутск» затонул. Экипаж судна высадился на льдине, которую быстро уносило в море. Спешно выгрузив продовольствие, люди направились к берегу. С трудом добрались, но это был холодный пустынный берег. Только через полтора месяца, в конце октября, показался на горизонте зимовочный дом в Хатангском заливе. Четверо умерли по дороге, остальные были на пределе истощения и усталости.
Лаптев пришёл к убеждению, что морем выполнить задачу отряда — описать берега Таймырского полуострова — не удастся. Ещё одна зима на Хатанге. На исходе зимы, в марте, Лаптев направил Челюскина с тремя собачьими упряжками через тундру к устью Пясины, Чекина — на восточный берег Таймыры. Туда же в начале марта 1741 года проложил путь Семён Челюскин, выйдя из Туруханска, где его отряд провёл зиму. Он достиг устья Хатанги и, следуя направлению береговой линии, пошёл на север. От мыса Фаддея велись съёмки. И 22 мая на карте обозначился самый северный мыс полуострова и всего огромного материка Евразии, который был назван Северо-Восточным. «Сей мыс каменный, высоты средней, — записал Челюскин в путевом журнале. — Здесь именован мною оный мыс... здесь поставил маяк — одно бревно, которое вёз с собою».
Немало было высказано сомнений в том, завершил ли в самом деле штурман Челюскин открытие мыса, названного потом его именем. Но документы подтвердили, что открытие сделано именно им.
