Физические тела | страница 66
Развертка колебания позволяет нам, кроме того, ответить на поставленный выше вопрос: где находится колеблющаяся точка в тот или иной момент времени. Например, где будет колеблющаяся точка через 11 с, если период колебания равен 3 с, а движение началось в крайнем положении слева? Через каждые 3 с колебание начинается с той же точки. Значит, через 9 с тело также будет в крайнем левом положении.
Нет нужды поэтому в графике, на котором кривая протянута на несколько периодов, — вполне достаточен чертеж, на котором изображена кривая, соответствующая одному колебанию. Состояние колеблющейся точки через 11 с при периоде 3 с будет такое же, как и через 2 с. Отложив на чертеже 2 см (мы ведь условились, что скорость протягивания бумаги равна 1 см/с, иными " словами, что масштаб чертежа — 1 см равен 1 с), мы увидим, что через 11 с точка находится на пути из крайнего правого положения в положение равновесия. Смещение в этот момент находим из рисунка.
Для нахождения смещения точки, совершающей малые колебания около положения равновесия, не обязательно прибегать к графику. Теория показывает, что в этом случае кривая зависимости смещения от времени представляет собой синусоиду. Если смещение точки обозначить через у, амплитуду через а, период колебания через Т, то значение смещения через время t после начала колебания найдем по формуле
y = α∙sin 2π∙t/T
Колебание, происходящее по такому закону, называется гармоническим. Аргумент синуса равен произведению 2π на t/T. Величина 2π∙t/T называется фазой.
Имея под руками тригонометрические таблицы и зная период и амплитуду, легко вычислить смещение точки и по значению фазы сообразить, в какую сторону точка движется.
Нетрудно вывести формулу колебательного движения, рассматривая движение тени, отбрасываемой на стенку грузиком, движущимся по окружности (рис. 4.4).
Смещения тени мы будем откладывать от среднего положения. В крайних положениях смещение у равняется радиусу круга α. Это амплитуда колебания тени.
Если от среднего положения грузик прошел по окружности угол φ, то его тень отойдет от средней точки на величину α∙sin φ.
Пусть период движения грузика (являющийся, конечно, и периодом колебания тени) есть Т: это значит, что 2π радиан грузик проходит за время Т. Можно составить пропорцию φ/t = 2π/T, где t — время поворота на угол φ.
Таким образом, φ = (2π/T)∙t и y = α∙sin (2π/T)∙t. Это мы и хотели доказать.
Скорость колеблющейся точки также меняется по закону синуса. К такому заключению нас приведет то же рассуждение о движении тени грузика, описывающего окружность. Скорость этого грузика есть вектор неизменной длины
