Физические тела | страница 100

Как связан период обращения планеты с радиусом ее орбиты?

Сила тяготения, действующая на планету со стороны Солнца, равна

где М — масса Солнца, m — масса планеты, r — расстояние между ними

Но F/m есть, согласно основному закону механики, не что иное, как ускорение, и притом центростремительное:

F/m = v^>2/r

Скорость планеты можно представить как длину окружности 2πr, поделенную на период обращения Т.

Подставив v = 2π∙r/T и значение силы F в формулу ускорения, получим:

Коэффициент пропорциональности перед r^>3 есть величина, зависящая только от массы Солнца, — одинаковая для любой планеты. Следовательно, для двух планет справедливо соотношение

T_>1^>2/T_>2^>2 = r_>1^>3/r_>2^>3

Отношение квадратов времен обращения планет оказывается равным отношению кубов радиусов их орбит. Этот интересный закон был выведен Кеплером из опыта. Закон всемирного тяготения объяснил наблюдения Кеплера.

Круговое движение одного небесного тела около другого — это лишь одна из возможностей.

Траектории одного тела, вращающегося около другого благодаря силам тяготения, могут быть самыми различными. Однако, как показывает расчет и как еще до всякого расчета было обнаружено Кеплером, все они принадлежат к одному классу кривых, называемых эллипсами.

Если привязать нитку к двум булавкам, воткнутым в лист чертежной бумаги, натянуть нитку острием карандаша и двигать карандашом так, чтобы нитка оставалась натянутой, то на бумаге в конце концов прочертится замкнутая кривая — это в есть эллипс (рис. 6.5). Места, где находятся булавки, будут фокусами эллипса.

Эллипсы могут иметь различную форму. Если взять нитку много длиннее, чем расстояние между булавками, то эллипс будет очень похож на круг. Напротив, если длина нитки чуть-чуть больше расстояния между булавками, то получится удлиненный эллипс — почти палочка.

Планеты описывают эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце.

Какие же эллипсы описывают планеты? Оказывается, очень близкие к окружности Наиболее отличен от окружности путь ближайшей к Солнцу планеты — Меркурия. Но и в этом случае самый длинный диаметр эллипса всего лишь на 2 % больше самого короткого. Иное дело орбиты искусственных планет. Посмотрите на рис. 6.6. Орбиту Марса не отличишь от круга.

Однако Солнце находится в одном из фокусов эллипса, а не в его центре, и поэтому расстояние планеты от Солнца меняется сильнее. Проведем линию через два фокуса эллипса — она пересечет эллипс в двух местах. Точку, ближайшую к Солнцу, называют перигелием, наиболее далекую от Солнца — афелием. Меркурий, когда находится в перигелии, в 1,5 раза ближе к Солнцу, чем в афелии.