Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями | страница 30

Перед решением задачи полезно задуматься о возможном ответе. Посмотрим, что может случиться на нескольких первых шагах. Приведенная схема иллюстрирует тот факт, что человек может упасть вниз только через нечетное число шагов. После одного шага вероятность упасть вниз равна 1/3 (рис. 6). Путь 1 → 2 → 1 → 0 добавляет еще 2/27 к вероятности падения, давая общую вероятность несчастья 11/27. После пяти шагов пути 1 → 2 → 1 → 2 → 1 → 0 и 1 → 2 → 3 → 2 → 1 → 0 вместе добавляют 8/243 к вероятности падения, давая общий результат 107/243. Этот список можно продолжить, но мы обратимся теперь к иному подходу.

Рис. 6. Схема блуждания пьяницы, показывающая вероятность нахождения на различных расстояниях от края пропасти.

Настоящая задача о блуждании весьма популярна и имеет много формулировок. Далее мы будем трактовать ее как задачу о частице, движущейся по оси.

Рассмотрим частицу, которая сначала находится в положении x = 1 на оси. Структура задачи будет яснее, если вероятность шага направо вместо 2/3 будет равна p. Частица движется из положения 1 либо в точку x = 2 с вероятностью p, либо в точку x = 0 с вероятностью 1 − p (рис. 7). Вообще, если частица находится в положении x = n, n > 0, n — целое число, то она сдвигается либо в точку x = n + 1 с вероятностью p, либо в точку x = n − 1 с вероятностью 1 − p. Если частица попадает в положение x = 0, то там она поглощается (не делает других шагов). Нас интересует значение вероятности P₁ того, что частица поглощается в точке x = 0, если она выходит из точки x = 1. Разумеется, значение P₁ зависит от p. Кажется естественным, что если p близко к 1, то вероятность P₁ мала, а если p близко к нулю, то P₁ мало отличается от 1.

Рис. 7.

Рассмотрим ситуацию после первого шага: либо частица сдвинулась налево, попала в точку x = 0 и поглотилась там (это событие имеет вероятность 1 − p), либо сдвинулась направо в точку x = 2 (это событие происходит с вероятностью p). Пусть P₂ обозначает вероятность того, что частица поглощается в начале координат x = 0, если она выходит из точки x = 2. Тогда мы имеем

P₁ = 1 − p + p·P₂, (1)

так как 1 − p есть вероятность поглощения на первом шаге и p·P₂ — вероятность поглощения на последующих шагах.

Каждый путь, ведущий к поглощению из x = 2, можно разбить на две части:

(1) Путь, идущий из точки x = 2 и достигающий положения x = 1 в первый раз (не обязательно за один шаг) и

(2) Путь, идущий из точки