Самый важный пример этого принципа – определение Фреге кардинального числа данного множества элементов как класса всех множеств, которые «подобны» данному множеству, где два множества «подобны:», когда существует взаимно-однозначное соответствие, чьей областью служит одно множество, а обратной областью – другое множество. Таким образом, кардинальное число есть класс всех тех классов, которые подобны данному классу. Это определение оставляет неизменным истинностные значения всех утверждений, в которых встречаются кардинальные числа, и избегает заключений к множеству объектов, называемых кардинальными числами, которые никогда не были необходимы, кроме как для понимания арифметики, а теперь больше не нужны и для такой цели.
Возможно, даже более важным является тот факт, что подобными методами можно избавиться от самих классов. Математика полна утверждений, которые, кажется, требуют, чтобы такие классы или агрегаты должны были быть в некотором смысле отдельными сущностями, например, утверждение «число комбинаций из п вещей любого числа есть 2». Поскольку 2" всегда больше, чем п, то это утверждение приводит к трудностям, если допускаются классы, потому что число классов сущностей в универсуме больше, чем число сущностей в нем, которые будут лишними, если классы окажутся среди сущностей. К счастью, все утверждения, в которых появляются классы, могут интерпретироваться без предположения, что существуют классы. Это, возможно, наиболее важное из всех применений нашего принципа. (См. "Principia Mathematical, 20).
Другой важный пример относится к тому, что я называю «определенными дескрипциями», то есть к таким фразам, как «четно простое», «нынешний король Англии», «нынешний король Франции». Всегда было трудно интерпретировать такие утверждения, как «нынешний король Франции не существует». Трудность возникает здесь благодаря тому, что «нынешний король Франции» является субъектом этого утверждения, который делает необходимым предположить его существование, хотя он и не существует. Но эта трудность приписывает существование даже «круглому квадрату» или «четному простому числу, большему, чем 2» Фактически получается, что «круглый квадрат не существует» так же верно, как и «нынешний король Франции не существует». Даже различие между реальным (existence) и идеальным существованием (subsistence) не помогает нам. Факт, что когда слова «то-то и то-то» встречаются в утверждении, то не имеется никакого отдельного соответствующего им конституента утверждения, и когда утверждение анализируется полностью, то слова «то-то и то-то» исчезают. Важным следствием теории дескрипций является то, что бессмысленно говорить, что «A существует», если "A" не является (или не обозначает) фразой формы «то-то и то-то». Если то-то и то-то существует, а x есть то-то и то-то, тогда говорить «x существует» бессмысленно.
