Большая заслуга современной, по сравнению с античной, математики заключается в том, что она может оперировать с постоянными изменениями. Единственный вид движения, с которым могла оперировать античная или средневековая математика, было равномерное движение по прямой линии или по кругу. Аристотель говорил, что для земных тел «естественно» движение по прямым линиям, а для небесных тел – по кругу; эта точка зрения сохранялась вплоть до Кеплера и Кишлея, показавших, что она не соответствует фактам. Техническим инструментом для оперирования с постоянным изменением является дифференциальное и интегральное исчисления, изобретенные независимо друг от друга Ньютоном и Лейбницем.
Использование вычислений можно проиллюстрировать, рассмотрев, что имеется в виду под понятием «скорость». Предположим, что вы сели в поезд, который с опозданием вышел с одной станции и все еще набирает скорость, и вы хотите знать, с какой скоростью он движется в настоящий момент времени. Предположим далее, что вы знаете, на каком расстоянии расположены телеграфные столбы, и можете подсчитать расстояние, которое прошел поезд за определенное время. Допустим, вы обнаружили, что за секунду, истекшую с того момента времени, когда вы захотели узнать скорость поезда, он прошел 44 фута. 44 фут/с – это 30 миль/ч, поэтому вы можете сказать, что «за час мы проезжаем 30 миль». Но несмотря на то, что вы подсчитали среднюю скорость за секунду, эта скорость не равна той скорости, с которой поезд шел в самом начале этой секунды, потому что он ускорялся и к концу второй секунды шел уже с большей скоростью. Если бы у вас была возможность делать достаточно точные измерения, то вы обнаружили бы, что в первую четверть секунды скорость поезда была 10 футов, а не 11. Следовательно скорость поезда в начале секунды была скорее 40 футов, а не 44. Но 40 фут/с – это все равно слишком много, потому что даже за эту четверть секунды произошло некоторое ускорение. Если бы у вас была возможность измерять точно малые отрезки времени и расстояния, то чем короче были бы эти отрезки времени, тем более точны вы были бы в своих расчетах. Однако вы никогда не будете совершенно точны.
Что же тогда понимается под скоростью поезда в настоящий момент времени? Ответ на этот вопрос можно дать лишь с помощью дифференциального исчисления. Вы составляете математический ряд все более и более точных аппроксимаций измерений скорости поезда за все более и более короткие промежутки времени. Если вы берете одну секунду, то приблизительное измерение скорости поезда равно 44 футам; если вы берете четверть секунды, то – 40 футам. Предположим, что на железнодорожных станциях стоят люди с секундомерами; они подсчитали, что за десятую долю секунды скорость поезда была 39,2 фут/с; за двенадцатую долю секунды – 39,1 и т. д. Вообразим невозможную точность измерения и наблюдения и предположим, что наблюдатель подсчитал, что скорость поезда всегда несколько выше 39, но никогда не превышает любое число, большее чем 39. В таком случае 39 называют «пределом» ряда чисел, и мы говорим, что 39 фут/с – это скорость поезда в настоящий момент времени. Это определение скорости в момент времени.
