Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия | страница 70
Фиг. 76.Вторая гипотеза Кеплера.
>Этот рисунок иллюстрирует схему Кеплера, который пытался так расположить правильные многогранники, чтобы получить наилучшее согласие с известными соотношениями размеров орбит различных планет.
Правильные многогранники
Сколько может существовать различных правильных многогранников?
Правильный многогранник — это геометрическое тело с одинаковыми правильными плоскими гранями, т. е.
— все ребра имеют одинаковую длину
— все плоские углы одинаковы
— все пространственные углы одинаковы
— все грани имеют одну и ту же форму
(на фиг. 77, а даны примеры многогранников, не удовлетворяющих этим требованиям). Например, куб — правильный многогранник.
Фиг. 77.Многогранники.
>а — неправильные
Грани правильного многогранника могут представлять собой:
— равносторонние треугольники
— квадраты
— правильные пятиугольники
и т. д.
Опыт 1. Доказательство для граней, представляющих собой квадраты. Попробуйте построить угол правильного многогранника из нескольких плоских прямых углов.
Мы уже знаем, что каждый угол куба образуется пересечением трех его граней. Возьмите три квадратных куска картона, положите их на стол, затем попробуйте приподнять их, ухватившись за то место, где встречаются все три угла квадратов.
Квадратные куски картона образуют при этом трехгранный угол куба. Поэтому мы можем сделать правильный многогранник, каждый угол которого будет образован пересечением трех квадратных граней. (Нам понадобится еще три квадратных куска картона, чтобы сделать весь куб). Можем ли мы сделать иной правильный многогранник с одной или двумя, или четырьмя квадратными гранями, пересекающимися между собой?
Из одного квадрата мы не можем образовать многогранный угол.
С двумя квадратами мы получим лишь плоский двугранный угол.
С тремя квадратами мы получим трехгранный угол куба.
С четырьмя квадратами нельзя получить угол многогранника; их углы, смыкаясь, образуют плоскость.
Таким образом, с помощью квадратов можно построить лишь один правильный многогранник — куб.
Опыт 2. Попробуйте теперь образовать многогранник с помощью правильных пятиугольников. Сколько правильных многогранников можно получить, пользуясь гранями такой формы?
Попробуйте выполнить аналогичную задачу с шестиугольниками и другими многоугольниками. Попробуйте построить правильные многогранники с помощью треугольников.
Вывод. Только пять различных многогранников могут существовать в нашем трехмерном мире (фиг. 77, б). (Обращаем ваше внимание на то, что для доказательств, которыми мы здесь пользовались, необходимы не только эскизы, сделанные карандашом, но и модели из картона.)
