Сравнивая движение материальной точки в поле сил, не зависящем от времени, с распространением волн в преломляющих средах, состояние которых также не зависит от времени, мы показали, что между принципами Мопертюи и Ферма существует определенная аналогия. Сравнивая движение материальной точки в переменных во времени силовых полях с распространением волн в преломляющих средах с параметрами, меняющимися во времени, замечаем, что аналогия между принципом наименьшего действия в его общем виде, предложенном Гамильтоном, и принципом Ферма, обобщенном на случай преломляющих сред, состояние которых зависит от времени, сохраняется и в этом, более общем случае. Не будем останавливаться на этом вопросе. Для нас достаточно будет лишь, что эта аналогия между двумя основными принципами механики и геометрической оптики имеет место не только в рассмотренном нами выше, хотя и очень важном, но все же частном случае постоянных полей, но и в более общем случае переменных полей.
Принцип стационарного действия справедлив и для систем материальных точек. Для его формулировки нам удобно ввести конфигурационное пространство, соответствующее рассматриваемой системе. В качестве примера ограничимся случаем, когда потенциальная энергия системы не зависит явно от времени. Таков, например, случай изолированной системы, на которую не действуют внешние силы, поскольку потенциальная энергия ее при этом сводится только к энергии взаимодействия и не зависит явно от времени. В этом случае, вводя 3N-мерное конфигурационное пространство и вектор в этом пространстве, 3N компонент которого совпадает с компонентами векторов количеств движения N материальных точек системы, принцип наименьшего действия в форме Мопертюи можно сформулировать следующим образом. Траектория изображающей точки системы, проходящая через две заданные точки A и B в конфигурационном пространстве, делает минимальным криволинейный интеграл от введенного выше 3N-мерного вектора, взятый по отрезку траектории между точками A и B, по сравнению с такими же интегралами, взятыми по отрезкам других кривых в конфигурационном пространстве, проходящих через те же точки A и B. Этот принцип легко получить также из теории Якоби. Аналогия же его с принципом Ферма следует из возможности представления траекторий изображающей точки в конфигурационном пространстве в виде лучей волны, распространяющейся в этом пространстве. Итак, мы снова видим, что для систем материальных точек переход от классической механики к волновой можно осуществить лишь в рамках абстрактного конфигурационного пространства.
