Вся совокупность возможных траекторий материальной точки в таком поле сил зависит от шести параметров, поскольку каждая из этих траекторий определяется начальным положением и начальной скоростью материальной точки. Однако все эти траектории можно объединить в семейства, зависящие только от трех параметров, причем траектории одного и того же семейства образуют семейство кривых, ортогональных некоторому семейству поверхностей. Если найти одно из них, то ортогональные этому семейству кривые будут возможными траекториями материальной точки. Теория Якоби позволяет найти семейства таких поверхностей с помощью решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка и второй степени, которое называется уравнением Якоби. Вывод этого уравнения основан на гамильтоновом выражении для энергии материальной точки в каждый момент времени как функции компонент ее импульса и координат в тот же момент времени.
Итак, мы видим, что теория Якоби позволяет разбить шестимерное множество траекторий материальной точки на семейства, каждое из которых содержит в себе трехмерное множество траекторий и соответствует некоторому семейству ортогональных им поверхностей. Каждое семейство траекторий и соответствующее ему семейство ортогональных поверхностей находятся точно в таком же отношении друг к другу, как лучи и волновые поверхности при рассмотрении волн в рамках геометрической оптики. Еще более века назад шотландский геометр Гамильтон отметил эту аналогию между механикой и геометрической оптикой, но только развитие квантовой теории позволило увидеть в ней нечто большее, чем простое сходство математического описания.
В связи с этим интересно отметить, что с точки зрения классической механики материальной точки связь частицы с волной, следующая из теории Якоби, не имеет физического смысла. Действительно, в рамках классических представлений материальная точка, имеющая в каждый момент времени вполне определенные положение и скорость, описывает в поле сил единственную, вполне определенную траекторию, вид которой определяется начальными условиями. Поэтому бесконечная совокупность траекторий, классифицированная, согласно теории Якоби, в семейства, представляет собой лишь возможные траектории, и только одна из них действительно реализуется в каждом конкретном случае. Эти семейства имеют скорее абстрактно математическое значение, поскольку они отображают совокупность возможностей, из которых осуществляется одна и только одна. Тем не менее им все же можно придать конкретный смысл, если представить себе, что имеется бесконечное число одинаковых и не взаимодействующих друг с другом, материальных точек. Тогда можно предположить, что различные материальные точки описывают различные траектории семейств, которые приобретают, таким образом, конкретное содержание. Следовательно, теорию Якоби можно рассматривать в некотором смысле как статистическую теорию, так как она одновременно рассматривает ансамбли из различных траекторий. В этом можно увидеть в зародыше вероятностное и статистическое толкование волновой механики.
