дифференциальных уравнений второго порядка по времени для
3N координат всех
N материальных точек. Как следует из математического анализа, решение этой системы уравнений полностью определяется заданием положений и скоростей всех материальных точек системы в начальный момент времени. Так обобщается на случай системы материальных точек принцип механического детерминизма, установленный ранее для случая одиночной материальной точки.
Изучение движения системы материальных точек очень упрощается, если ввести понятие центра инерции системы, который, как известно, совпадает с центром тяжести всех материальных точек системы. Оказывается, что если на систему не действуют никакие внешние силы, то ее центр инерции движется прямолинейно и равномерно. Этот результат следует из одного общего свойства сил, вводимых в механике, свойства, которое выражается принципом равенства действия и противодействия. Согласно этому принципу, сила, действующая на материальную точку A со стороны материальной точки B, равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой точка A действует на точку B.
В том случае, когда система обладает потенциальной энергией, можно предположить, что потенциальная энергия зависит только от взаимного положения материальных точек – гипотеза с физической точки зрения вполне естественная.
Итак, задача определения движения системы разбивается на две: сначала находится движение центра инерции, а затем – движение системы относительно ее центра тяжести. Ряд хорошо известных теорем облегчает решение этой задачи.
Количество движения системы материальных точек определяется просто как сумма (геометрическая) количеств движения всех входящих в нее материальных точек. Оно выражается в виде суммы произведений масс на соответствующие скорости, т.е. также использует понятие скорости. Что касается энергии системы, то она всегда содержит слагаемое, соответствующее кинетической энергии и равное сумме кинетических энергий всех материальных точек, т.е. полусумме произведений массы каждой материальной точки на квадрат ее скорости. Если же система консервативна, то полная энергия включает в себя также потенциальную энергию, которая в свою очередь состоит из двух слагаемых. Первое равно сумме потенциальных энергий всех материальных точек во внешнем поле, действующем на систему (если таковое имеется). Второе слагаемое, отличное от нуля и в том случае, когда внешнее поле отсутствует, есть энергия взаимодействия материальных точек. Оно равно сумме взаимных потенциальных энергий каждой пары частиц.
