Уравнения классической динамики материальной точки утверждают таким образом, что произведение массы материальной точки на какую-либо из компонент ее ускорения равно соответствующей компоненте силы, действующей на эту материальную точку. Если предположить, что сила есть известная функция координат и времени, то для определения координат материальной точки в зависимости от времени мы получаем систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по времени.
Хорошо известная из математического анализа теорема утверждает, что решение этой системы уравнений однозначно определяется заданием координат и их первых производных по времени в какой-либо начальный момент времени. Иначе говоря, если известно положение материальной точки и ее скорость в некоторый момент времени, то можно точно определить характер ее движения во все последующие моменты времени.
Этот результат показывает, что классическая динамика материальной точки находится в полном соответствии с принципом физического детерминизма, принципом, согласно которому будущее состояние материального мира может быть полностью предсказано, если известны параметры, определяющие его состояние в какой-либо предшествующий момент времени.
Интересно отметить еще один факт. Поскольку предполагается, что материальная точка имеет бесконечно малые размеры, то ее траекторией будет линия, которая занимает в трехмерном пространстве лишь одномерный континуум. Материальная точка в каждой точке своей траектории находит определенное значение силы, которое и задает ее движение в последующий бесконечно малый промежуток времени. При этом, казалось бы, характер движения определяется лишь значением поля сил вдоль траектории и совершенно не зависит от его значений вне этой траектории. В действительности, однако, это не совсем так, и характер движения зависит также от поля сил в непосредственной близости от траектории. Последнее обстоятельство связано с тем, что, поскольку во всех физических задачах поле сил, как правило, меняется в пространстве непрерывно, значение силы в какой-либо точке траектории зависит, вообще говоря, от ее значений в области, непосредственно примыкающей к траектории. Особенно ясно это видно в часто встречающемся случае, когда сила в каждой точке пространства равна градиенту некоторой функции координат. Действительно, определение градиента предполагает, что потенциал известен не только в точке приложения силы, но и в некоторой бесконечно малой окрестности этой точки и, следовательно, сила в каждой точке траектории оказывается зависящей от значений потенциала в области, расположенной в непосредственной близости от траектории. Принцип наименьшего действия приводит к тем же выводам, поскольку он определяет действительную траекторию материальной точки, т.е. траекторию, которую в действительности описывает материальная точка, двигаясь согласно законам динамики, сравнением ее с другими, бесконечно близкими траекториями. Это также означает, что характер движения материальной точки зависит от значений силы в области, расположенной бесконечно близко от ее траектории.
