Эрвину Шредингеру в его великолепной статье, увидевшей свет в 1926 г., выпала честь первому написать в явном виде волновое уравнение волновой механики и вывести из него строгий метод решения квантовых задач. Чтобы получить уравнение для волн, связанных с частицей, можно исходить из идеи о том, что с точки зрения новой теории старая механика эквивалентна приближению геометрической оптики. В теории Якоби траектории частиц рассматриваются как световые лучи, которые соответствуют поверхности, определяемой полным интегралом уравнения первого порядка второй степени в частных производных, названного уравнением Якоби. Мы уже отмечали (см. гл. II п. 2), что уравнение Якоби по форме совершенно аналогично основному уравнению геометрической оптики и что именно это обстоятельство – причина аналогии между теорией Якоби и теорией распространения волн в ее геометрическом приближении. Поэтому волновое уравнение волновой механики нужно записать таким образом, чтобы соответствующее уравнение геометрической оптики, справедливое в условиях, которые мы уже уточнили, совпадало с уравнением Якоби. Чтобы получить уравнение распространения, удовлетворяющее этому условию, Шредингер проделал следующее: прежде всего он установил соотношение, которое для данной задачи в классической механике давало бы энергию как функцию координат частицы и компонент ее импульса. Далее в этом выражении, которое носит в механике название гамильтониана, каждая компонента импульса в декартовой системе координат заменялась символом производной по соответствующей координате, умноженной на константу, пропорциональную постоянной Планка. Таким образом, гамильтониан был превращен в некий оператор, оператор Гамильтона. Теперь достаточно было применить этот оператор к волновой функции системы (которая обычно обозначается греческой буквой ψ) и приравнять полученный результат производной волновой функции по времени, умноженной на упомянутую константу.
Полученное таким образом уравнение можно принять в качестве волнового уравнения частицы, ибо в приближении геометрической оптики оно сводится к уравнению Якоби, которое можно написать для рассматриваемой задачи в классической механике.
Здесь следует сделать несколько замечаний по поводу полученного таким способом уравнения распространения связанных с частицей волн. Во-первых, это уравнение определяет волновую функцию как функцию скалярную, а не векторную. Это приводит к существенному различию между волной, связанной с частицей, и световой волной. Правда, известно, что волновая теория света также вначале исходила из того, что световые колебания описываются скалярной функцией. Такая точка зрения и сегодня может объяснить многие явления дифракции и интерференции. И только лишь при рассмотрении поляризации нужно учитывать векторный характер волновой функции. Итак, можно предположить, что в один прекрасный день скалярная волновая функция будет заменена волновой функцией нескольких компонент при соответствующем обобщении теории. Ниже мы покажем, что это предсказание подтвердилось рождением теории электрона Дирака. Как мы увидим, эта теория не одинакова для случаев электрона и фотона.
