Темная сторона материи. Дирак. Антивещество | страница 22

После нескольких недель упорной работы Дирак вывел искомое соотношение:

xy - yx = ih/2π [x,y].

Это уравнение напрямую связывало квантовые величины, или операторы Гейзенберга, с классическими переменными, введенными благодаря скобкам Пуассона, [х, у]. В уравнении использовалась постоянная Планка h, коэффициент 2π и мнимая единица i = √-1. Уравнение можно было записать с помощью «редуцированной постоянной Планка», равной

ħ = h/2π

Данное понятие было введено Дираком в 1930 году.

Несмотря на проявленную ученым сдержанность в отношении принципа соответствия Бора, этот самый принцип представал здесь как основа теории. Соответствие между квантовыми переменными и классическими, а также Гамильтонов формализм быстро привели Дирака к его новой теории. Все обретало смысл, а результаты и основополагающие принципы, такие как принцип сохранения энергии и правило частот Бора, находили естественное объяснение.

Дирак закончил статью «Основные уравнения квантовой механики» в ноябре 1925 года и отправил ее Фаулеру, который тут же осознал важность и глубину работы своего студента.

Скобки Пуассона были введены в 1809 году французским физиком и математиком Симеоном Дени Пуассоном (1781-1840). Они представляют собой очень полезное понятие в аналитической механике: с их помощью можно вывести основные уравнения движения. Общее определение этого понятия следующее.

Возьмем две произвольные функции F и G, зависящие от обобщенных пространственных и временных координат: q_>j, р_>j. Скобки Пуассона определяются через

[F,G] = ∑(∂F/∂q_>j ∂G/∂p_>j - ∂F/∂p_>j ∂G/∂q_>j).

Отношение между классическими переменными задано: [q_>i,q_>j]=[p_>i,p_>j=0; [q_>i, p_>j] = δ_>ij, где δ_>ij является функцией дельты Кронекера, то есть δ_>ij = 0 для i ≠ j и δ_>ij =1 для i = j. В особых случаях функции Гамильтона (гамильтониан) H (q_>j,p_>j,t), то есть функции, определяющей энергию системы, скобки Пуассона позволяют получить следующие основные уравнения движения:

dq_>j/dt = [q_>j,H]; dp_>j/dt = [p_>j,H];

dF/dt = [F,H] + ∂F/∂t.

Методом Пуассона можно идентифицировать постоянные системы, то есть величины, которые сохранились. Любая функция, где скобки Пуассона с гамильтонианом равны нулю, соответствует постоянной движения. Соответственно, скобки Пуассона любой постоянной движения с гамильтонианом должны быть равны нулю.

Не прошло и трех недель, как она была опубликована в журнале Proceedings of the Royal Society. В то время имя Дирака было совершенно неизвестно международному научному сообществу, при этом его статья наделала много шума среди ведущих ученых в области квантовой физики. Бор выразил свое изумление «восхитительной работой» молодого неизвестного физика. А Гейзенберг, едва получив рукопись, отправил Дираку письмо с поздравлениями.