2. Математические фокусы
Для “разминки” рассмотрим несколько фокусов, имеющих отношение к числам. Никаких особых сложностей в них нет, но их знание поможет развеселить или удивить знакомых знанием математики.
Умножение в уме числа на 11
Рассмотрим простой пример:
26*11 = 286
Сделать это в уме просто, если взять сумму чисел и поместить в середину:
26*11 = 2 [ 2+6 ] 6
Аналогично 43*11 = 473, 71*11 = 781 и так далее.
Чуть длиннее расчет, если сумма чисел больше либо равна 10. Но и тогда все просто: в середину кладется младший разряд, а 1 уходит в старший разряд:
47*11 = [4] [4+7=11] [7] = [4+1] [1] [7] = 517
94*11 = [9] [9+4=13] [4] = [10] [3] [4] = 1034
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5
Подсчитать это тоже просто. Если число рассмотреть как пару NM, то первая часть результата - это число N, умноженное на (N+1), вторая часть числа - всегда 25.
35>2 = [3*4] [25] = 12 25
Аналогично:
25>2 = [2*3] 25 = 625 85>2 = [8*9] 25 = 7225 и так далее.
Отгадывание результата
Попросим человека загадать любое число. Например 73. Затем чтобы еще больше запутать отгадывающего, попросим сделать следующие действия:
- удвоим число (146)
- прибавляем 12 (158)
- разделим на 2 (79)
- вычтем из результата исходное число (79-73 = 6)
В конце мы отгадываем, что результат - 6. Суть в том, что число 6 появляется независимо от того, какое число загадал человек.
Математически, это доказывается очень просто:
(2*n + 12)/2 - n = n + 6 - n = 6, независимо от значения n.
Отгадывание чисел
Есть другой фокус с отгадыванием чисел. Попросим человека загадать трехзначное число, числа в котором идут в порядке уменьшения (например 752). Попросим человека выполнить следующие действия:
- записать число в обратном порядке (257)
- вычесть его из исходного числа (752 - 257 = 495)
- к ответу добавить его же, только в обратном порядке (495 + 594)
Получится число 1089, которое “фокусник” и объявляет публике.
Математически это тоже несложно доказать.
- Любое число вида abc в десятичной системе счисления представляется так:
abc = 100*a + 10*b +c.
- Разность чисел abc - cba:
100*a + 10*b +c + 100 - 100*c-10*b - a = 100*a - 100*c - (a - c) = 100*(a-c) - (a-c)
- Т.к. по условию a - c > 0, то результат можно записать в виде:
100*(a-c) - (a-c) = 100*(a-c) - 100 + 90 + 10 - (a-c) = 100*(a-c-1) + 10*9 + (10-a+c)
Мы узнали разряды числа, получающегося в результате:
a>1=a-c-1, b>1 = 9, c>1 =10-a+c
- Добавляем число в обратном порядке:
a>1b>1c>1 + c>1