Математический аппарат инженера | страница 31

- 43 -

20. Для заданных матриц найти обратные и проверить соотношение AA^>-1 = 1:

21. Найти матрицы, обратные заданным, и проверить соотношение (AB)^>-1 = B^>-1A^>-1:

22. Дана система уравнений:

Записать эту систему в матричной форме Ax = q, вычислить обратную матрицу А^>-1 и записать решение системы.

23. Зависимости между токами и напряжениями четырехполюсника (рис. 6, а) можно представить одной из систем уравнений:

Рис. 6. Соединение четырехполюсника: а — четырехполюсник; б — последовательное соединение; в — параллельное соединение.

а) Записать эти уравнения в матричной форме и установить зависимости между элементами матриц:

б) Показать, что матрица А последовательного соединения четырехполюсников (рис 6. б) равна произведению их матриц A' и A'', т.е. A = A' A'' (в порядке следования).

в) Показать, что матрица Y параллельного соединения четырехполюсников (рис. 6, в) равна сумме их матриц Y' и Y'', т.е. Y = Y' + Y''.

- 44 -

24. Выполнить умножение матриц, воспользовавшись разбиением их на блоки:

Проверить результат непосредственным умножением матриц.

1. Происхождение графов. Многие задачи сводятся к рассмотрению совокупности объектов, существенные свойства которых описываются связями между ними. Например, глядя на карту автомобильных дорог, можно интересоваться только тем, имеется ли связь между некоторыми населенными пунктами, отвлекаясь от конфигурации и качества дорог, расстояний и других подробностей. При изучении электрических цепей на первый план может выступать характер соединений различных ее компонентов - резисторов, конденсаторов, источников и т. п. Органические молекулы образуют структуры, характерными свойствами которых являются связи между атомами. Интерес могут представлять различные связи и отношения между людьми, событиями, состояниями и вообще между любыми объектами.

В подобных случаях удобно рассматриваемые объекты изображать точками, называемыми вершинами, а связи между ними - линиями (произвольной конфигурации), называемыми ребрами. Множество вершин V, связи между которыми определены множеством ребер Е, называют графом и обозначают 0 = (V, Е).

Первая работа по графам была опубликована двадцатилетним Леонардом Эйлером в 1736 г., когда он работал в Российской Академии наук. Она содержала решение задачи о кенигсбергских мостах

Рис. 7. К задаче о кенигсбергских мостах:

а — план города; б — граф.

(рис. 7, а): можно ли совершить прогулку таким образом, чтобы выйдя из любого места города, вернуться в него, пройдя в точности один раз по каждому мосту? Ясно, что по условию задачи не имеет значения, как проходит путь по частям суши а, b, с, d, на которых расположен г. Кенигсберг (ныне Калининград), поэтому их можно представить вершинами. А так как связи между этими частями осуществляются только через семь мостов, то каждый из них изображается ребром, соединяющим соответствующие вершины. В результате