Математический аппарат инженера | страница 27

Умножение (m × n) — матрицы А на единичную матрицу m-го порядка слева и на единичную матрицу n-го порядка справа не изменяет этой матрицы, т.е. E_>mA = AE_>n = A. Если хотя бы одна из матриц произведения АВ является нулевой, то в результате получим нулевую матрицу.

Отметим, что из АВ = 0 не обязательно следует, что А = 0 или В = 0. В этом можно убедиться на следующем примере:

6. Транспонирование матрицы. Преобразование матрицы А, состоящее в замене строк столбцами ( или столбцов строками) при

- 34 -

сохранении их нумерации, называется транспонированием. Полученная в результате такого преобразования матрица называется транспонированной к матрице А и обозначается A^>t или A':

Произвольная (m × n) — матрица при транспонировании становится ( n × m ) - матрицей, а элемент a_>ij занимает ji — клетку, т.е. a_>ij = a^>t_>ji.

Если матрица (квадратная) совпадает со своей транспонированной, т.е. A = A^>t, то она называется симметричной и ее элементы связаны соотношением a_>ij = a_>ji (симметрия относительно главной диагонали). Матрица, для которой A = -A^>t, называется кососимметричной, и ее элементы связаны соотношением a_>ij = -a_>ji . Она, как и симметричная матрица, всегда квадратная, но диагональные элементы равны нулю, т.е. a_>i>i = 0 (i = 1, 2, ..., n). Ниже приведены примеры симметричной и кососимметричной матриц:

Ясно, что не все элементы таких матриц могут быть выбраны произвольно. Можно убедиться, что из n^>2 элементов для симметричной матрицы независимыми могут быть только 1/2 n (n + 1), а для кососимметричной -1/2 n (n + 1) элементов.

- 35 -

Комплексно-сопряженная и транспонированная матрица (A)^>t называется сопряженной с А и обозначается A*. Матрица, равная своей сопряженной, т.е. A = (A̅)^>t = A*, называется эрмитовой. Если A = -(A̅)^>t, то А — косоэрмитова матрица.

Легко показать, что транспонирование произведения АВ равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (AB)^>t = B^>tA^>t. Дважды транспонированная матрица равна исходной, т.е. (A^>t)^>t = A.

7. Матричная запись системы линейных уравнений. Первоначально матрицы были введены для упрощения записи систем линейных уравнений, что и обусловило и определение основных матричных операций. Система линейных уравнений:

записывается одним матричным равенством

Действительно, перемножив в правой части равенства ( m × n ) - матрицу на столбцевую матрицу, получим

- 36 -

Из равенства матриц-столбцов следуют равенства для соответствующих элементов, которые совпадают с исходной системой уравнений. Если обозначить