Генеральная идея больцмановского решения — определение наиболее вероятного с термодинамической точки зрения состояния системы материальных точек. В качестве подобной системы может быть выбран коллектив молекул, образующих газ. С точки зрения механики состояние такой системы полностью определено заданием координат x, y и z и составляющих скорости v>x, v>y, и v>z. Для описания системы необходимо знать 6N переменных, где N — число частиц в системе. Отметим, что перестановки частиц между собой не меняют механического состояния системы. Число таких перестановок нетрудно подсчитать. Так, если система состоит из двух частиц а и b, то число возможных перестановок равно, очевидно, двум: ab и ba. В случае трех частиц число возможных перестановок равно 6: abc, acb, bac, bca, cab, cba, четырех частиц — 24 и т.д. Коротко число возможных перестановок можно записать с помощью математического символа N! (N факториал), который расшифровывается как произведение всех натуральных чисел от 1 до N, т. е. N! = 1∙2∙3∙…∙N.
Больцман вводит в рассмотрение принципиально новую для физики величину — термодинамическую вероятность состояния системы. При ее подсчете он обращает внимание на то, что перестановки частиц, имеющих одинаковую энергию, не меняют термодинамического состояния системы. Для подсчета числа таких перестановок Больцман распределяет все частицы по группам. В первой группе находятся n>1частиц, обладающих энергиями от 0 до ε, где ε — некоторая малая порция энергии. Во второй группе находятся п>2частиц с энергиями от ε до 2ε и т.д. Такое разбиение частиц по дискретным энергетическим интервалам противоречило полученному Максвеллом и самим Больцманом непрерывному распределению частиц по энергиям, но это его не смущало. Вводя малую порцию энергии ε, он не придавал ей какого-либо физического смысла. Он рассматривал ее лишь как формальный математический прием, по его словам, «полезную функцию». К тому же в ходе дальнейшего исследования он устремлял ε к нулю, приходя, таким образом, к непрерывному распределению частиц по энергиям.
Разбиение частиц на определенные энергетические интервалы позволило Больцману подсчитать число перестановок частиц внутри каждого интервала. Очевидно, что внутри первого интервала их будет n>1!, второго — n>2! и т. д. Так как такие перестановки не меняют термодинамического состояния системы, то для определения термодинамической вероятности состояния Больцман предлагает исключить их из полного числа перестановок
