Магия математики: Как найти x и зачем это нужно | страница 44
Когда мы перемножаем все числа от 1 до n, для обозначения произведения мы используем n! что читается как «факториал числа n». Другими словами,
Например,
Мне кажется, символ восклицательного знака подходит здесь как нельзя лучше: значение числа n! увеличивается очень быстро и, как мы увидим чуть позже, таит в себе много удивительного. Для удобства математики определяют значение 0! = 1. А еще n! не определяется, когда n – отрицательная величина.
Казалось бы, 0! должен быть равен 0. Но это почему-то не так: 0! = 1. Давайте разберемся, почему. Обратите внимание, что для n ≥ 2 n! = n × (n – 1)! а значит
Если мы хотим, чтобы наше утверждение оставалось верным для n = 1, нам понадобится
Итак, факториалы растут очень и очень быстро. Посмотрите сами:
Насколько велики эти числа? Ученые говорят, что количество всех-всех песчинок в мире равняется 10²². А количество всех-всех атомов во Вселенной – 10>80. Так вот, если вы тщательно перемешаете колоду из 52 карт (что, как мы чуть позже узнаем, может быть сделано 52! способами), шансы на то, что в таком порядке они сложатся впервые со времен изобретения карт и никогда больше не сложатся снова, близки к 100 %. И это при условии, что все люди на Земле каждую минуту на протяжении нескольких миллионов лет будут тасовать каждый свою колоду.
В начале главы вы, скорее всего, заметили, каким огромным количеством нолей заканчивается факториал 100! Откуда они берутся? При перемножении чисел от 1 до 100 мы получаем ноль всякий раз, когда умножаем число, кратное 5, на число, кратное 2. Первых в промежутке от 1 до 100 будет 20, вторых (по сути, всех четных) – 50, что, по идее, дает нам в конце 20 нолей. Но ведь числа 25, 50, 75 и 100 дают нам дополнительные коэффициенты пятерки, поэтому 100! будет иметь в итоге 24 ноля.
Как и в главе 1, здесь мы увидим несколько замечательных математических закономерностей, в которых используются факториалы. Вот, например, одна из моих любимых:
Правило суммы и произведения
Большинство проблем с вычислением на самом деле сводятся к двум правилам – суммы и произведения. Правило суммы используется, когда нужно подсчитать общее количество имеющихся у вас вариантов выбора. Допустим, у вас есть 3 рубашки с короткими рукавами и 5 рубашек – с длинными. Но наденете-то вы только одну. Значит, вы стоите перед выбором одного из 8 вариантов. Обобщая, можно сказать, что, если у вас есть два типа объектов и количество объектов первого типа равно
