Магия математики: Как найти x и зачем это нужно | страница 25
Еще одним забавным способом решения квадратных уравнений является метод дополнения до полного квадрата. Например, чтобы решить уравнение x² + 4x = 12, добавим 4 в обе его части, чтобы получить
Сделать это нужно для того, чтобы преобразовать левую часть в (x + 2)(x + 2). Так наша задачка превращается в
Другими словами, (x + 2)² = 42. Значит,
что дает нам x = 2 или x = –6, как мы уже выяснили чуть выше.
Но для уравнения
наш выбор очевиден – и это формула корней. У нас получается, что a = 1, b = 9, а c = 13. То есть
Согласитесь – в общем-то, не самый очевидный случай. По большому счету, в математике очень немного формул, которые действительно надо помнить, но формула корней квадратного уравнения – одна из них. Достаточно немного попрактиковаться, и вы легко обнаружите, что использовать эту формулу просто, как… дважды два.
Почему работает формула корней квадратного уравнения? Давайте запишем уравнение ax² + bx + c = 0 как
а потом разделим обе части на a (которое не равно 0), чтобы получить
Извлечем квадратный корень из левой и правой частей уравнения:
и в результате получим
Что и требовалось доказать.
Алгебра в графиках
В XVII веке в математике произошел настоящий прорыв: французы Пьер де Ферма и Рене Декарт независимо друг от друга придумали отличный способ визуализации алгебраических уравнений (равно как и алгебраическую запись геометрических объектов).
Начнем, пожалуй, с графика простого уравнения
Оно означает, что любое значение переменной х мы должны удвоить, а потом прибавить к нему 3 – так у нас и получается y. В таблице ниже приведены несколько возможных пар значений для x и y. Рядом с таблицей – график, на котором все эти значения отмечены точками, и можно легко видеть, что все они определенным образом упорядочены. Посмотрите на координаты: (–3, 3), (–2, –1), (–1, 1) и так далее. Соединив эти точки одной линией и уведя ее в бесконечность, мы получим то, что называется графиком. График рядом с таблицей есть отображение уравнения y = 2x + 3.
Добавим немного необходимой терминологии. Горизонтальная линия на нашей картинке называется осью X, вертикальная – осью Y. Сам график составляет линия с наклоном 2, которая пересекает ось Y в точке 3. Наклон – это степень «крутизны» линии. Наклон, равный 2, обозначает, что каждый раз, когда x увеличивается на одну единицу, y всегда будет увеличиваться на две (что очень хорошо видно из таблицы). Алгебраически точка пересечения с осью
