Занимательная астрофизика | страница 63

где G — постоянная тяготения, Mm — массы взаимодействующих тел, a R — расстояние между их центрами. Именно с такой силой, например, звезда массы М, с точки зрения классической теории тяготения, притягивает тело массы m, расположенное на ее поверхности.

В теории тяготения Эйнштейна сила тяготения определяется иной формулой:

где с — скорость света в пустоте.

Различие этих формул определяет и разный характер поведения силы тяготения в тех или иных ситуациях. Рассмотрим, например, случай, когда звезда массы М сжимается в точку, т. е. расстояние между ее центром и центром тела массы т сокращается.

Согласно формуле (4), сила тяготения при этом будет соответственно расти, оставаясь в то же время конечной при любом конечном расстоянии.

Иным будет поведение силы тяготения, рассчитанной по формуле (5). При определенной величине R=r_>g выражение под корнем в знаменателе обращается в нуль, а F_>э — в бесконечность.

Подсчитаем величину r_>g:

Эта величина получила название гравитационного радиуса. Если R намного больше, чем r_>g, то выражение под корнем в знаменателе формулы (5) мало отличается от единицы, так как с^>2 — величина очень большая и дробь пренебрежимо мала. В этом случае формула (5) практически совпадает с формулой (4). Однако по мере того, как R приближается к r_>g, различие становится все более существенным. И при R = r_>g сила тяготения, как мы уже знаем, становится бесконечно большой.

Можно подсчитать, что для массы Солнца гравитационный радиус равен 3 км, для массы Земли — 0,9 см; а для массы нашей Галактики — 10^>11 км, в то время как действительные радиусы этих объектов соответственно равны 700 тыс. км, 6400 км и 9·10^>17 км. Таким образом, размеры «обыкновенных» космических объектов — планет, звезд, галактик, как правило, в миллионы и миллиарды раз больше их гравитационных радиусов. Отсюда, между прочим, следует, что для небесных тел, сходных с Землей или Солнцем, эффекты общей теории относительности (ОТО) весьма невелики, и практически их можно не принимать во внимание.

Отметим одно любопытное обстоятельство. Хотя гравитационные радиусы Земли и Солнца весьма заметно отличаются от их реальных радиусов, тем не менее они имеют конечные значения. Возникает вопрос: чему равна сила тяготения F_>э на расстояниях, еще меньших, чем r_>g? Ведь уже при r_>g она равна бесконечности. Все дело в том, что в наших расчетах мы вычисляли силу тяготения, действующую на покоящееся «пробное» тело массы М. В действительности же сфера радиуса r