Так, при обучении умножению учителя, работающие в таком ключе, могут представить математические идеи по-разному. Можно показать, что 12 × 12 – это многократное сложение (двенадцать раз по двенадцать) или сочетание равных групп (Y × 12). Можно представить эти идеи и более конкретно, объединив одинаково пронумерованные группы кубиков, яблок или консервных банок на столе или картинок на доске. Но в каждом случае учителя стараются помочь ученикам понять математический смысл операций в основе привычного алгоритма: 12 × 12 = 144. Учителя преподносят идеи и операции по-разному. В поисках способов добиться понимания некоторые преподаватели даже предлагают ученикам придумать объяснение самостоятельно и объяснить новый материал друг другу. Они предполагают, что формулирование, проговаривание материала помогает лучше его понять. Когда учителя преподают подобным образом, они, помогая ученикам понять математические действия, позволяют им разобраться в сути математических аргументов. Ведь чтобы рассуждать о том, как представить математическую зависимость при умножении, учащиеся должны уметь отделять данные, имеющие математический смысл в анализируемом контексте (например, 12 банок с бобами по 12 штук в каждой), от тех, что не имеют такого смысла (например, 12 банок по 10 бобов в каждой и одна банка с 24 бобами). Следовательно, учить и учиться умножению этим способом означает не просто разобраться, почему некоторые действия имеют смысл, но также понять различия между более и менее обоснованными математическими доказательствами. При таком методе обучения умножению возникают вопросы, как же математики объясняют и обосновывают свои рассуждения, и ответить на них может быть не так-то просто. Обсуждение этих вопросов – это не то, что мы обычно понимаем под обучением математике в четвертом классе или в колледже. Поэтому, хотя такая необычная работа может быть весьма результативной, она довольно-таки трудна – отчасти потому, что опирается на этические обязательства учителя нести ответственность за обучение.
Учителя, которых устраивает упрощенное и неглубокое соответствие преподавания и обучения, не предъявляют особенных требований ни к себе, ни к своим подопечным. Они могут написать материал на доске и продемонстрировать ученикам, как механически запоминать даты или решать задачи. Учителям нужно всего лишь помнить факты и методы, предъявлять их в удобном виде для демонстрации и использования и, возможно, предложить полезные мнемонические инструменты. Они должны уметь отличать правильные ответы от неправильных. Для этого не требуется ни специальных интеллектуальных навыков, ни глубокого знания предмета, хотя многие профессора, преподающие таким образом, демонстрируют высокое мастерство и глубокие знания в своих исследованиях, статьях и разговорах с коллегами.
