Неоконченный поиск. Интеллектуальная автобиография | страница 19

Однако с первого взгляда видно, что элементы этого множества и элементы логического содержания находятся в отношении взаимно однозначного соответствия: каждому элементу из одного множества соответствует элемент из другого, а именно его отрицание.

Отсюда мы видим, что всегда, когда логическая сила, или мощность, или информационный объем теории возрастают или убывают, ее логическое содержание и информационное содержание также возрастают или убывают. Это показывает, что две эти идеи очень сходны между собой: существует взаимно однозначное соответствие между тем, что может быть сказано об одной из них, и тем, что может быть сказано о другой. Таким образом, мое определение информационного содержания оказалось не полностью абсурдным.

Но существуют и два различия. Например, для логического содержания справедлив закон транзитивности: если b является элементом содержания a, a с — элементом содержания b, то с также является элементом содержания а. Несмотря на то, что, конечно же, существует соответствующее правило и для информационного содержания, оно состоит не в простом законе транзитивности, вроде приведенного[20].

Более того, содержание любого (не-тавтологичного) утверждения — скажем, теории t — бесконечно. Представим себе бесконечный список утверждений а, b, с…, которые попарно противоречивы, но из которых по отдельности не следует t. (Для большинства t адекватным для а будет «число планет равно 0», для b «число планет равно 1» и т. д.). Тогда утверждение «t или а, или и t и а» будет логически выводимо из t; то же самое верно относительно b и любого другого утверждения из списка. Из наших допущений относительно a, b, с… можно легко показать, что ни одна из пар в последовательности «t или а, или u t и a», «t или b, или и tub» не является взаимовыводимой; то есть ни одно из этих утверждений логически не следует из другого. Таким образом, логическое содержание t должно быть бесконечным.

Этот элементарный результат, касающийся логического содержания любой нетавтологичной теории, конечно же, хорошо известен. Аргументация здесь тривиальна, поскольку она основана на тривиальной операции с логическим (нестрогим) «или»[21]. Поэтому может возникнуть вопрос, не является ли бесконечность содержания вообще тривиальной проблемой, базирующейся просто на утверждениях типа «t или а, или и t и а», которые появляются в результате тривиального метода ослабления t. Однако в контексте информационного содержания