Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики | страница 33
2. 6.0.
3. 6.6.
Запишем оценку каждого судьи в виде: 5,8 + xi (i = 1, 2, 3, 4, 5). Очевидно, что сумма x>1 + x>2 + x>3 + x>4 + x>5 = 0 из самого определения среднего балла: средний балл – это сумма оценок, деленная на количество судей, мы получаем 5,8 × 5/5 + (x>1 + x>2 + x>3 + x>4 + x>5)/5 = 5,8, сократив в обеих частях уравнения 5,8, получим искомое равенство. Его можно переписать в виде (считаем, что удаленный судья – пятый по счету): x>5 = –(x>1 + x>2 + x>3 + x>4). Мы знаем, что после удаления пятого судьи средний бал снизился до 5,6, запишем это математически: 5,8 × 4/4 + (x>1 + x>2 + x>3 + x>4)/4 = 5,6, откуда после простейших преобразований следует: x>1 + x>2 + x>3 + x>4= –0,8. Теперь уже элементарно найти оценку, данную пятым судьей: это 5,8 + x>5 = 5,8 – (x>1 + x>2 + x>3 + x>4) = 6,6. Также несложно теперь и ответить на вопрос, в чем заключался скандал и почему пятого судью удалили: дело в том, что максимальная оценка в фигурном катании составляет 6 баллов. Если судья ставит больше, то, значит, что-то с ним не то.
64. Про конфеты
У Алеши А конфет, у Бори Б, у Вити В и у Гаврилы Г. Известны лишь произведения: А × Б = 6, Б × В = 12, В × Г = 24. Сколько конфет у Гаврилы, если известно, что у Бори их больше, чем у Вити?
1. 4.
2. 6.
3. 12.
Проще всего начать с Алеши и Бори, поскольку произведение А × Б = 6 минимально, значит, минимально и число комбинаций А и Б. Следует исходить из того, что А и Б – положительные целые (опять этот Диофант! См. задачи № 47, 55 и 62), так как отрицательное количество конфет есть нонсенс, а про обкусанные конфеты задач задавать тоже не принято. Тогда возможны следующие варианты: А = 1, Б = 6, В = 2, Г = 12 (1); А = 2, Б = 3, В = 4, Г = 6 (2); А = 3, Б = 2, В = 6, Г = 4 (3); А = 6, Б = 1, В = 12, Г = 2 (4). У Бори больше конфет, чем у Вити, только в первом случае, во всех прочих Б < В. Значит, только этот вариант и подходит под условия задачи, у Гаврилы при этом 12 конфет, вот и ответ.
65. Что там дальше?
Учитель выписывает на доске числа – 13, 21, 34 – и просит учеников продолжить последовательность, дописав еще хотя бы два последующих числа. Они долго спорили, в конечном итоге пришли к трем различным вариантам, но ни в одном они не уверены. А какой выберете вы?
1. 42, 56.
2. 50, 69.
3. 55, 89.
Вопрос на эрудицию, если ответ вам неизвестен, догадаться будет весьма непросто. Нужно обратить внимание, что 13 и 21 в сумме дают аккурат 34, а какая последовательность выражается формулой «Каждое последующее есть сумма двух предыдущих»? Совершенно верно, это последовательность чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и т. д. Любопытно, что числа Фибоначчи их автором, Леонардо Пизанским (1170–1250; Фибоначчи его прозвали только после смерти), были предложены для подсчета количества кроликов, известных своей плодовитостью, в каждом поколении.
