Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики | страница 30

1. Нет, это невозможно.

2. Да, одним-единственным способом.

3. Да, и способов сделать это – множество.

Ответ поражает – интуитивно-то нам кажется, что можно закрыть обрезанную доску 31 костяшкой, – но еще больше поражает красота и простота доказательства, почему этого сделать нельзя. Обратим внимание, что когда мы закрываем целую, неиспорченную доску, то каждая костяшка покрывает две клетки разного цвета – и черную, и белую, сделать так, чтобы клетки были одноцветные (две белые или две черные), не получится никоим образом. Теперь отметим тот факт, что клетки на концах любой диагонали доски 8 × 8 – одного цвета (для определенности будем считать, что белые), таким образом, после срезания двух клеток у нас на доске будут 62 белые и 64 черные клетки, или, иначе, у двух черных клеток не будет пары – отсюда с необходимостью следует, что покрыть такую доску 31 костяшкой не представляется возможным. Разве что одну из костяшек мы тоже решим порезать.

Берем отрезок длины 1, выламываем из него посередине треть и заменяем ее на два отрезка, представляющие собой две стороны равностороннего треугольника, третьей стороной которого служит выброшенный нами отрезок. Затем с каждым звеном полученной ломаной проделываем то же самое, потом с новой ломаной, и так далее до бесконечности. Какой будет длина полученной в итоге линии?

1. 4/3.

2. Сумма бесконечного сходящегося ряда 1 + 1/3 + 1/3² +… = 3/2.

3. И не сосчитаешь!

Фигура, которая получается в итоге, – это кривая (еще говорят «снежинка») Коха (по имени автора, шведского математика Хельге фон Коха), один из самых известных фракталов – видимо, потому, что его проще всего рисовать. А еще несложно посчитать его длину на каждом этапе «сборки»: когда мы ломаем отрезок первый раз, мы заменяем среднюю часть (длины 1/3) на два отрезка, каждый такой же длины (треугольник по условию равносторонний). Сложим длины всех отрезков (1/3 + 1/3 + 1/3 + 1/3), получим 4/3. А какой будет длина ломаной на втором шаге? Очевидно, длина каждого маленького отрезка (1/3) увеличится, как видим из предыдущего рассуждения, в 4/3 раз, всего таких отрезков четыре, значит, суммарная длина всей ломаной будет уже (4/3)². И с каждым шагом эта степень будет увеличиваться, длина ломаной растет, причем экспоненциально, т. е. с каждым шагом все быстрее! Так, уже на четвертом шаге она будет превышать первоначальную втрое, на десятом – в 18 раз, на сотом – в 3 трлн раз! Фракталы на плоскости – удивительные фигуры, не имеющие ни длины (она, как видим, бесконечна), ни площади (она-то как раз равна нулю). Любопытно, что в жизни фракталы, про которые большинство людей даже не знает, встречаются на каждом шагу: это и деревья, и облака, и, конечно, снежинки.