Комментарий. В этой задаче одно из противоречащих друг другу утверждений – то, что требуется доказать (крестики могут как минимум не проиграть), а второе – его отрицание (нолики могут выиграть).
Задача 7.4. В клетках шахматной доски как-то расставлены все натуральные числа от 1 до 64. Докажите, что найдутся две соседние по стороне или по вершине клетки, числа в которых отличаются не меньше чем на 9.
Решение. Предположим противное: разность между числами, стоящими в любых двух соседних по стороне или вершине клетках, не превышает 8. Заметим, что расстояние между любыми двумя клетками не превышает семи королевских ходов. Поэтому разность между числами в любых двух клетках по предположению не превышает 7 · 8 = 56. Но разность 64 – 1 = 63 > 56. Полученное противоречие доказывает, что предположение неверно и найдутся два числа в соседних клетках, отличающиеся не менее чем на 9.
Комментарий. В этой задаче метод от противного применен в широком понимании: противоречащие друг другу утверждения («Числа в любых двух клетках отличаются не более чем на 56» и «Существуют две клетки, числа в которых отличаются на 63») не сформулированы явно ни в условии задачи, ни в предположении, а получены из них.
Задача 7.5. Острова архипелага связаны мостами так, что с каждого острова можно дойти до любого другого. Не более чем с двух островов ведет нечетное число мостов, а с остальных – четное. «Докажем», что можно обойти архипелаг, пройдя по каждому мосту ровно один раз.
«Доказательство». Предположим противное: хотя бы с трех островов ведет нечетное число мостов. Заходя на остров, мы «тратим» два моста: по одному вошли, по другому вышли. Поэтому мосты, выходящие с каждого острова, можно объединить в пары. Нечетное число мостов может быть только на самом первом острове (мы с него вышли первый раз, не заходя перед этим) и на последнем (зашли, но не вышли). Если островов с нечетным числом мостов хотя бы три, приходим к противоречию, и пройти по всем мостам ровно один раз нельзя. А если таких островов не более двух, то можно.
Верно ли это «доказательство»?
Решение. Обозначим данное в задаче условие буквой А: «Не более чем с двух островов ведет нечетное число мостов, а с остальных – четное». То, что требуется доказать, обозначим как Б: «Можно прогуляться по архипелагу, пройдя по каждому мосту ровно один раз». Итак, требуется доказать А ⇒ Б. А что доказано? Что если «нечетных» островов хотя бы три, то обойти архипелаг, пройдя по разу по каждому мосту, нельзя. То есть доказано (вполне, кстати, верно) «не А» ⇒ * «не Б» – противоположное утверждение, которое, как уже обсуждалось в задаче 6.1, отнюдь не равносильно нужному. И неверна в доказательстве именно последняя фраза: «А если таких островов не более двух, то можно». Вот Б ⇒ А действительно равносильно «не А» ⇒ «не Б».
