Идеалисты отрицают опытное происхождение математических понятий. При этом они опираются на то, что математика мыслит свои предметы — линии, поверхности, тела и т. д.— такими, какими они в точности никогда не бывают в действительности. Математическая линия, например, имеет лишь длину, но не имеет ни ширины, ни высоты, математическое тело есть лишь замкнутая математическими поверхностями часть пространства, мыслимая независимо от наполняющего пространство вещества, и т. д. Опираясь на эту отвлечённость современных математических понятий, идеалисты утверждают, будто понятия эти не могут иметь своим источником опыт и потому являются априорными, т. е. внеопытными и доопытными.
Так, идеалист Кант утверждает, будто «настоящие математические положения всегда суть априорные, а не эмпирические суждения, потому что они обладают необходимостью, которая не может быть заимствована из опыта»[25].
И точно так же идеалист-неокантианец Эрнст Кассирер утверждает, будто тенденция современной науки «всё более и более ведёт к тому, что устраняются «данные» элементы, как таковые, и им не уделяется никакого влияния на общую форму хода доказательства»[26]. «Всякое понятие и всякое положение, которое употребляется в ходе доказательства и не служит просто для целей наглядности, должно быть обосновано строго и выведено целиком из законов конструктивной связи»[27].
Выражаясь проще, математическое понятие есть, согласно взгляду идеалистов, не порождение опыта, а порождение (или построение, «конструкция») ума, отливающееся в априорные формы мысли и возникающее по априорным законам мышления.
Учение идеализма о внеопытном и доопытном характере математических понятий совершенно ошибочно. Несостоятельность этого учения была доказана Энгельсом в «Анти-Дюринге». Исходя из того же самого факта — крайней обобщённости и отвлечённости математических понятий,— на котором идеализм всегда строил свою философию математики, Энгельс показал, что правильным объяснением этого факта может быть только материалистическое. «Понятие фигуры, как и понятие числа,— разъяснял Энгельс,— заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло вовсе в голове из чистого мышления. Раньше чем люди могли прийти к понятию фигуры, должны были существовать вещи, которые имели форму и формы которых сравнивали. Чистая математика имеет своим предметом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, т. е. весьма реальное содержание. Тот факт, что это содержание проявляется в крайне абстрактной форме, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Чтобы изучить эти формы и отношения в их чистом виде, следует их оторвать совершенно от их содержания, устранить его как нечто безразличное для дела. Так получаются точки без протяжения, линии без толщины и ширины, а и Ь, х и у, постоянные и переменные. ..Точно так же выведение математических величин как будто бы друг из друга доказывает не их априорное происхождение, но только их рациональную связь. Прежде чем пришли к мысли выводить форму цилиндра из вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, нужно было исследовать не мало реальных прямоугольников и цилиндров, хотя бы и в весьма несовершенной форме... как и во всех областях мышления, отвлеченные от действительного мира законы на известной ступени развития отрываются от действительного мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, по которым должен направляться мир... так, а не иначе, применяется впоследствии чистая математика к миру, хотя она и заимствована из этого мира и представляет только часть его составных форм несобственно, только поэтому она вообще применима к нему»
