.
Поэтому число определений, входящих в основания доказательств данной науки и формулируемых в начале её изложения, обычно бывает невелико и без нужды не должно быть увеличиваемо.
в) Аксиомы и постулаты как основания доказательства
Положения об удостоверенных фактах и определения входят в число оснований самых различных наук: естественных и общественных.
В математике, механике и теоретической физике кроме определений и удостоверенных фактов в число оснований доказательства входят ещё аксиомы, или постулаты. Так называются положения, которые предполагаются истинными, но в пределах каждой науки в качестве истинных не доказываются.
Так, доказательство теоремы евклидовой геометрии о равенстве суммы внутренних углов плоского треугольника двум прямым опирается не только на ранее доказанную теорему о равенстве суммы двух смежных углов двум прямым, но, кроме того, на теоремы о свойствах внутренних накрест лежащих и соответственных углов, которые в свою очередь опираются на положение, согласно которому через данную точку вне данной прямой в одной с ней плоскости можно провести одну — и притом только одну — прямую, которая ни при каком продолжении её в обе стороны от данной точки не пересечётся с данной прямой. Положение это уже не теорема, а аксиома (постулат). В «Началах» Евклида оно дано (в редакции, отличающейся от приведённой в тексте) в качестве 11-й аксиомы первой книги[16].
Аксиомой (постулатом) это положение является потому, что в «Началах» Евклида оно принимается без доказательства. И действительно: положение это утверждает, что возможно неограниченно продолжить прямую так, чтобы последняя нигде не пересекалась с данной прямой. Но совершенно очевидно, что утверждение это не может быть проверено или доказано: как бы далеко мы ни продолжали прямую, продолжение её будет для нашего наглядного представления ограниченным. В лучшем случае можно сказать, что в тех пределах, в каких прямая продолжена нами, она сохраняет параллельность данной прямой. Но сохранит ли она параллельность и при дальнейшем, ещё нами не воспринятом неограниченном её продолжении,— это остаётся недоказанным.
Аристотель, создавший не только науку логики в целом, но и разработавший, в частности, логическое учение о доказательстве, отличал аксиомы от другого вида недоказываемых наукой положений — от постулатов. Под аксиомами (αρώματα) он разумел такие недоказываемые в данной науке положения, которые в сравнении с другими недоказываемыми положениями являются, во-первых, наиболее общими и, во-вторых, представляют необходимое условие доказательства. Так, в «Метафизике» (кн. III, гл. 2, 997а 5—13) Аристотель говорит, что «не может существовать доказательства для всего», что «все доказывающие науки применяют аксиомы» и что «аксиомы обладают наивысшей степенью общности и представляют начала всего» (Κάρολου γαρ μάλιστα αι πάντων άρΧαι τα αξιώματα έστιν).
