Симпсоны и их математические секреты | страница 14

Безусловно, настоящая окружность должна быть меньше периметра большего квадрата и больше периметра меньшего квадрата. Таким образом, измерив периметры двух квадратов, мы получим верхний и нижний пределы длины окружности.

Периметр большего квадрата измеряется легко, поскольку каждая его сторона имеет ту же длину, что и диаметр круга, который, как нам известно, равен единице. Следовательно, периметр большего квадрата составляет 4 × 1 = 4 единицы.

Периметр меньшего квадрата вычислить несколько труднее, но мы можем определить длину каждой его стороны с помощью теоремы Пифагора. Очень кстати, что диагональ квадрата и две его стороны образуют прямоугольный треугольник, гипотенуза (H) которого не только совпадает с диагональю квадрата, но и имеет ту же длину, что и диаметр окружности, то есть единицу. Теорема Пифагора гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов. Если мы обозначим их символом S, то H² = S² + S². Если H = 1, то две другие стороны должны иметь длину 1/√2 единиц. Следовательно, периметр меньшего квадрата равен 4 × 1/√2 = 2,83 единицы.

Учитывая, что длина окружности должна быть меньше периметра большого круга и больше периметра малого, мы можем с уверенностью заявить, что она должна попадать в промежуток от 2,83 до 4,00.

Не забывайте: ранее мы утверждали, что длина окружности диаметром 1 единица равна π, поэтому значение π должно находиться между 2,83 и 4,00.

В этом и состояло великое открытие Архимеда.

Возможно, оно не произвело на вас особого впечатления, ведь мы уже знаем, что π равно примерно 3,14, так что нижний предел 2,83 и верхний – 4,00 не представляют для нас никакого интереса. Однако сила открытия Архимеда состояла в том, что его результат подлежал уточнению. Вместо того чтобы размещать окружность между большим и малым квадратами, Архимед разместил ее между большим и малым шестиугольниками. Если у вас есть десять свободных минут и вы уверенно оперируете числами, то можете попробовать сами доказать, что по результатам измерения периметра этих двух шестиугольников значение числа π должно быть больше 3,00 и меньше 3,464.

У шестиугольника больше сторон, чем у квадрата, что делает его более точным приближением к окружности. Это объясняет, почему шестиугольник позволяет вычислить более узкие пределы для значения π. Тем не менее и в этом случае имеет место значительная погрешность. Поэтому Архимед продолжал расчеты, применяя этот метод снова и снова и увеличивая количество сторон многоугольника, благодаря чему получал все более точное приближение к окружности.