Солнечная система (Астрономия и астрофизика) | страница 17

Рис.5

Вектор ускорения w_>s, сообщаемого Q со стороны s-гo кубика, равен согласно (1)

w_>s=—(Gm_>s/r_>s^>3)r_>s     (6)

Поясним, откуда взялся минус и куб в знаменателе. Модуль ускорения равен Gm_>s/r_>s^>2, и он умножен на единичный вектор —r_>s/r_>s направления от массы m_>s к точке Q (рис.5). Полное ускорение равно векторной сумме (6) по всем кубикам. Разумеется, так получается приближенная величина. Чтобы вычислить точную, нужно перейти к пределу, устремляя ребро кубика к нулю. В пределе получим тройной интеграл по телу Т. С помощью хорошего компьютера интеграл взять нетрудно. Но ведь даже для данного тела его нужно считать в огромном количестве точек пространства. Чаще всего идут другим путем. Как уже говорилось, Ньютон сумел вычислить интеграл для шара со сферическим распределением плотности и убедился, что внешние частицы шара притягивают в точности как материальная точка той же массы, помещенная в его центре. А дальше П.-С. Лаплас предложил следующую схему определения гравитационного поля Т. Во-первых, проще вместо векторного поля ускорений иметь дело со скалярным полем гравитационной потенциальной энергии Е_>р единицы массы Q. Оба поля однозначно определяют друг друга. Во-вторых, представим поле в виде ряда, т.е. суммы бесконечного числа слагаемых:

Е_>р=V_>0+V_>1+V_>2+…      (7)

Здесь начальное слагаемое описывает притяжение шара с центром в центре масс Т и нам уже известно из формулы (4): V_>0=—К^>2/r. В отличие от силы, потенциал шара убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от центра масс Т. Следующие слагаемые V_>s убывают обратно пропорционально r^>s+1, причем V_>1=0. Если Q далеко, то достаточно взять несколько первых членов (7) или даже только начальный член, чтобы получить удовлетворительную точность. Иными словами, гравитационное поле любого тела с удалением от него все больше напоминает поле шара, в полном соответствии с наблюдением древних софистов, что издали и квадратная башня кажется круглой. Для близких Q (например, если Т — Земля, Q — ИСЗ) для высокоточного определения гравитации надо брать десятки и сотни слагаемых. Каждое из них представляет не очень сложную функцию координат точки Q. Например,

V_>2=(A_>1x^>2+A_>2y^>2—(A1+A2)z^>2+A_>3xy+A_>4yz+A_>5zx)/r^>5

Важно, что V_>s содержит числовые коэффициенты. Например, в V_>2 их пять: A_>1÷А_>5. Эти коэффициенты можно определить, измеряя гравитационный потенциал, или ускорение на поверхности тела или вблизи нее. А можно следить за движением его искусственных спутников. В любом случае мы получаем систему многих алгебраических уравнений со многими неизвестными (коэффициентами типа