Если бы числа могли говорить. Гаусс. Теория чисел | страница 43

) = у_>i. В случае с планетой Церерой, который изучал Гаусс, пары были образованы положением в пространстве (переменная Y) и временем (переменная X). Определить траекторию планеты было равносильно нахождению вида функции ƒ, так, чтобы при введении данных времени (х) мы могли вычислить ее положение (у) на основе значения ƒ(хi). Нужно выявить метод нахождения функции, при которой были бы минимальными ошибки или вычеты, определяемые как разница между реальным значением переменной Y (положение планеты) и ее вычислением с помощью функции ƒ. Сумма этих ошибок должна быть как можно меньше. Чтобы ошибки взаимно не исключались отрицательными и положительными числами, они возводятся в квадрат; у этой процедуры также есть дополнительное преимущество — она сокращает значение более мелких ошибок, большинство из которых вызваны неточностью взятых данных. Итак, проблема наименьших квадратов сводится к нахождению такой функции ƒ, чтобы минимизировалась сумма квадратов ошибок, то есть чтобы

было минимальным.

Проблема равносильна нахождению минимума среднеквадратической ошибки, то есть минимизации функции:

Эта формулировка несколько проще той, с которой в действительности столкнулся Гаусс, поскольку ради простоты мы предположили, что положение планеты Цереры можно представить только одной переменной, в то время как на самом деле необходима трехмерная система координат, то есть переменная является векторной. Это влияет на сложность вычислений и число неизвестных, с которыми нужно работать, но не на теоретическую постановку.

Авторство разработки метода наименьших квадратов породило большую полемику с французским математиком Адриеном Мари Лежандром. Эта полемика была вызвана методами работы математиков начала XIX века и особенно подходом Гаусса к публикации результатов. На самом деле количество математических достижений Гаусса было несравнимо с числом публикаций. Гаусс, как и другие современные ему математики, не публиковал свои открытия сразу же в коротких статьях, как это делается сегодня, а накапливал их для издания целой книги. При этом он стремился не оставлять следов своего исследовательского труда. В случае с Церерой он озвучил решение, которое оказалось точным и принесло ему славу, но не объяснил используемого метода. Гаусс не публиковал своих трудов о методе наименьших квадратов до 1809 года, когда вышла его работа Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium («Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям»), то есть произошло это почти через десять лет после использования метода для вычисления орбиты Цереры. В этой публикации ученый обсуждает метод и намекает на работу Адриена Мари Лежандра по этой теме. Действительно, Лежандр хотя и не был первым, кто использовал этот метод, но первым описал его в работе Nouvelles methodes pour la determination des orbite des cometes («Новые методы определения орбит комет»), которая была опубликована в 1805 году (за четыре года до публикации Гаусса). Именно Лежандр дал методу название, известное сегодня. Вскоре после публикации книги Гаусса Лежандр написал ученому приветственное письмо, в котором, тем не менее, заявлял о своем авторстве метода наименьших квадратов.