Том 28. Математика жизни. Численные модели в биологии и экологии | страница 24

Компьютерное моделирование поведения белков, связанных с болезнью Паркинсона.

* * *

Одна из классических математических задач звучит так. Предположим, что мы хотим найти неизвестную функцию у, для которой известна ее производная у'. Допустим, производная у' неизвестной функции у равна Зх^>2 (говоря математическим языком, у' = 3x^>2). Необходимо определить у. Эта задача допускает несколько возможных решений (они называются первообразными), но если нам также известно значение функции в некоторой точке, например у(0) = 0, то решение будет единственным. Чтобы найти у, нужно вычислить интеграл

Сначала вынесем число 3 за знак интеграла: 3·

где С — константа интегрирования. В нашем случае функция у выглядит так:

В нашем случае С = 0, так как у(0) = 0. Упростив выражение, получим искомую функцию: у =t^>3. Задача была успешно решена стандартными методами интегрального исчисления.

Что произойдет, если производная у не будет напрямую выражена в виде f(t), нужно найти? Именно так выглядят дифференциальные уравнения, в которых значение у' связано со значением у. Производная функции по времени обозначается у' либо dy/dt. Эти обозначения эквивалентны. В простейших случаях дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

Расскажем немного подробнее об элементах дифференциального уравнения. Что означает у', или dy/dt? Производная выражает уровень изменений, скорость или ритм изменения системы. Напомним, что одной из характеристик динамических систем является зависимость их состояния от взаимодействия между их элементами, при этом любое изменение произвольного элемента влияет на общее состояние системы у. Иными словами, если известно состояние системы в момент времени t, например у(t), и мы подставим это значение в дифференциальное уравнение, то определим степень изменений системы — она будет характеризоваться значением у'. Заметьте, что дифференциальные уравнения в силу своих свойств наиболее удобны для построения математических моделей динамических систем и поэтому играют важную роль в математической биологии — с их помощью были успешно смоделированы многие биологические и экологические явления, о которых мы расскажем в этой главе.

Но как найти у в дифференциальном уравнении? Эта задача в общем виде решается не так просто, как в предыдущем примере, когда, зная производную функции