Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика | страница 35
Карта мира, раскрашенная четырьмя красками: красной, синей, зеленой и желтой (на иллюстрации они представлены различными оттенками серого). Этих четырех красок достаточно, чтобы никакие две области, имеющие общую границу, не были окрашены в один цвет.
* * *
Читатель, знакомый с дифференциальной геометрией или анализом бесконечно малых, возможно, заметил, что в более строгом варианте представленного выше доказательства не обойтись без методов математического анализа.
Утверждение, обратное тому, что мы доказали, также будет верным: проекции сферы на плоскость, сохраняющие длины кривых, сохраняют и расстояния между точками. Причина в том, что расстояние между двумя точками — это длина кратчайшей кривой, их соединяющей.
Читатель, возможно, понимает, что означает сохранение величин углов между двумя произвольными направлениями. Но чтобы лучше понять, как отображения сферы на плоскость изменяют углы, нужно подробнее рассмотреть используемые понятия, хотя при этом придется применить некоторые термины.
Рассмотрим произвольную точку сферы р, два направления, проходящие через эту точку, то есть два касательных вектора v>1 и v>2 а также угол θ между ними. Чтобы рассчитать, как изменятся касательные векторы и, следовательно, величина угла, будем действовать следующим образом. Рассмотрим две кривые на поверхности сферы, α>1: (— ε, ε) —> S>2 и α>2: (— ε, ε) —> S>2, которые проходят через точку р. Их касательными векторами в этой точке будут v>1 и v>2 (если говорить математическим языком, то α'>1(0) = v>1, α'>2(0) = v>2 геометрический смысл этих равенств представлен на следующей иллюстрации). Далее рассмотрим плоские кривые, которые будут отображениями этих кривых:
Эти векторы будут отображениями векторов v>1 и v>2 полученными проекцией φ. Если угол между w>1 и w>2 вновь будет равен θ, то проекция φ будет сохранять углы между векторами v>1 и v>2 (а также между кривыми а>1 и а>2соответственно). Интересный момент: векторы w>1 и w>2 которые являются отображениями векторов v>1 и v>2 полученными проекцией φ, не зависят от исходных кривых а>1 и а>2, следовательно, они также не зависят от угла между этими кривыми. Это позволяет, например, выбрать в качестве кривых а>1 и а>2дуги больших кругов, проходящие через точку р, и касательные векторы v>1 и v>2 которые определяются единственным образом.
Следовательно, интуитивно понятно, что изометрические преобразования сохраняют величины углов. Если для двух больших кругов сферы, которые пересекаются в точке, мы рассмотрим окружность достаточно малого радиуса
