Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике | страница 20

. Площадь квадрата, построенного на диагонали, вдвое больше площади исходного квадрата.

Теорема Пифагора в изложении Катьяяны.

Эти знания позволяли строить ведические алтари с исключительной точностью. В качестве примера можно привести так называемый алтарь смасана, на котором богам подносился одурманивающий напиток сома. Чтобы жертвоприношения возымели нужный эффект, размеры основания алтаря должны были точно соблюдаться.

В шульба-сутре Апастамбы приводились точные указания по постройке этого алтаря. Джордж Гевергезе Джозеф изложил эти указания в современной нотации так:

Используя веревку, отметьте ХY длиной ровно 36 пад.

Отметьте на этой линии точки Р, Q и R такие, что ХР, XR и XQ равны 5, 28 и 35 пад соответственно.

Проведите перпендикуляры в точках X и Y.

Зная, что треугольники АРХ, DPX, BRY и CRY прямоугольные, а их стороны выражены целыми числами, определите положение точек А, В, С и D. Иными словами, длина AXD должна составлять 24 пады, длина ВYС — 30 пад. Если построение верно, отрезки АС и BD должны пересекать ХY в одной точке О.

АХ = XD = 12 пад

BY = YC = 15 пад

ХР = 5 пад

PR = 23 пады

RQ = 7 пад

QY = 1 пада

ХY = 36 пад

Размеры алтаря смасана

_{>(источник: Джордж Гевергезе Джозеф «Павлиний хохолок»)}

Получим следующие пифагоровы тройки:

ΔАРХ и ΔDPX имеют стороны 5, 12, 13.

ΔАОХ и ΔDOX имеют стороны 12, 16, 20.

ΔAQX и ΔDQX имеют стороны 12, 35, 37.

ΔBRY и ΔCRY имеют стороны 8, 15, 17.

ΔBOY и ΔCOY имеют стороны 15, 20, 25.

ΔВХУ и ΔСХУ имеют стороны 15, 36, 39.

Так как стороны этих треугольников выражены целыми числами, их можно было отмерить с удивительной точностью. Если этого было недостаточно, сама конструкция содержала множество дополнительных пифагоровых троек, которые помогали еще больше повысить точность. Так пифагоровы тройки оказались на службе технологий. Это удивительно и красиво. Конечно, было известно множество других троек, которые также использовались при сооружении разных алтарей.

Поэтому очевидно, что ведической цивилизации была прекрасно известна теорема Пифагора. Она обычно использовалась в задачах вида «объединить два равных или неравных квадрата и получить третий квадрат». С ее помощью можно было построить алтарь, по площади равный двум другим. Решение задачи такого типа приведено в шульба-сутрах. В современной нотации оно выглядит так:

Пусть нужно объединить два квадрата — ABCD и PQRS.

Пусть DX = SR.

Следовательно, площадь квадрата со стороной АХ будет равна сумме площадей квадратов