Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике | страница 16
a>1 = с/2, а>2 = а>1>2,а>3 = 1 + а>2,а>4 = а>3>1/2.
Зная эти числа, мы легко вычислим
x = а>4 + a>1,1/x = a>4 — a>1
Согласно Робсон, в табличке Плимптон 322 использовалась та же схема: а>3 записаны в первом столбце, a>1 = (х — 1/х)/2 во втором, а>4 = (х + 1/х)/2 — в третьем. По этой гипотезе значения х и 1/х могли находиться на утерянной части таблички.
Таким образом, на табличке было записано 15 упражнений, которые учитель давал ученикам. Табличка содержала все промежуточные значения, чтобы не нужно было каждый раз повторять вычисления. Это настоящий учебник, очень похожий на современные.
Теорема Пифагора в Шумерии
Однако исследования Робсон возвращают нас к исходному вопросу. Если табличка Плимптон 322 не является убедительным доказательством того, что теорема Пифагора была известна уже шумерам, то когда же эта теорема впервые упоминается в исторических источниках? В любом случае нужно подождать, пока не будут найдены новые таблички, которые помогут частично ответить на вопросы. Но также достоверно известно, что теорема Пифагора в том или ином виде упоминалась в обширной истории Месопотамии, и этому существуют документальные подтверждения.
К вавилонскому периоду относится задача, которая не оставляет относительно этого никаких сомнений. В задаче говорится: «Стебель тростника имеет длину 0,30. Сверху опущено 0,06, каково расстояние до низа?» В десятичной системе длина тростника равна 0,5, а расстояние от верха стены до конца стебля равно 0,1. Изобразим условие задачи на рисунке. Заметим, что стебель тростника, стена и пол образуют прямоугольный треугольник. Стебель длиной 0,5 — это гипотенуза АС, стена АВ и пол ВС — два катета.
Прямоугольный треугольник из шумерской задачи о тростнике.
Далее в этом же документе приводится решение. Арабскими цифрами оно записывается так:
Возведи в квадрат 0,5, получишь 0,25.
Вычти 0,1 из 0,5, получишь 0,4.
Возведи в квадрат 0,4, получишь 0,16.
Вычти 0,16 из 0,25, получишь 0,09.
Квадрат какого числа равен 0,09?
0,3.
Нижний конец стебля отстоит от стены на 0,3.
Если говорить вкратце, то для нахождения катета длина гипотенузы и длина катета возводятся в квадрат, после чего находится квадратный корень из разности этих квадратов. Именно так формулируется теорема Пифагора.
Нет никаких сомнений, что автору был известен метод решения этой задачи в общем виде, вне зависимости от длины стебля и расстояния, на которое он отстоит от стены. Кроме этого, автор верно подобрал числа, чтобы задачу было легко решить в шестидесятеричной системе счисления, так как все числа в задаче можно представить как произведение 2, 3 и 5 в различных степенях.
