Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике | страница 14

Но откуда взялись все эти числа? Очевидно, что они записаны на табличке не случайно. В течение десятилетий исследователи предлагали различные объяснения. В первом приближении может показаться, что здесь перечислены пифагоровы тройки (в столбцах II, III и VI), то есть целые числа, удовлетворяющие соотношению из теоремы Пифагора. Числа в столбце II соответствуют длинам меньших катетов, числа в столбце III — длинам гипотенуз, числа в столбце VI — длинам больших катетов. Это подтверждает и надпись на аккадском языке над столбцами II и III. Возможно, столбец VI был записан на утерянной части таблички.

Но кому понадобилось выбрать столь сложные пифагоровы тройки? Существует множество значительно более простых троек, например, (3, 4, 5), (6, 8, 10) или (3, 12, 13). Все они соответствуют сторонам прямоугольных треугольников, но не приводятся в таблице. Хотя эта табличка могла быть не единственной, было бы логично предположить, что среди первых пятнадцати строк появятся некоторые из простейших пифагоровых троек.

Гипотеза Отто Нойгебауэра

Все это заставило математика Отто Нойгебауэра предположить, что числа в столбцах II и III на самом деле являются результатами вычислений над более простыми числами. Примерно в 1931 году Нойгебауэр предположил, что создателю таблички были известны формулы для определения пифагоровых троек на основе этих чисел. Для этого он выбрал два натуральных взаимно простых числа р и q, p > q. Затем он рассчитал следующие значения:

а = р^>2 — q^>2 (столбец II),

b = 2pq (столбец VI),

с = р^>2 + q^>2 (столбец III).

Нетрудно видеть, что

а^>2 + Ь^>2 = (р^>2 — q^>2)^>2 + (2pq)^>2 = р^>4 — 2p^>2q^>2 + q^>4 + 4р^>2q^>2 = р^>4 + 2p^>2q^>2 + р^>4 = (р^>2 + q^>2)^>2 = с^>2.

Следовательно, эти три числа образуют пифагорову тройку.

Руководствуясь этой гипотезой, Нойгебауэр начал дополнять табличку новыми столбцами, которые предположительно находились в левой, утерянной ее части.

Выбор значений p и q согласно гипотезе Отто Нойгебауэра (исправленные значения отмечены звездочками).

Казалось бы, все сходится. Кроме одиннадцатой строчки! Почему все числа в таблице не могут подчиняться общей закономерности? Почему закономерность нарушена именно в этой строке? Потому что она обладает крайне любопытным свойством. Числа, образующие пифагорову тройку (45, 60, 75) имеют общие делители: все они делятся на 15. Выполнив деление, получим тройку (3, 4, 5), которой соответствуют значения р = 2, q = 1.

Но это не помогло найти разгадку. Множество вопросов оставалось без ответа. Почему были выбраны именно эти значения