Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики | страница 74

Решить уравнения Гамильтона для газа невозможно, но по крайней мере мы знаем, что газ ведет себя как динамическая система. Следовательно, у него будут те же характеристики, что и у обычной динамической системы, и вывести их можно с помощью элементарной математики и здравого смысла. Вспомним, что теория динамических систем — это не физическая, а математическая теория: любая система, изменяющаяся во времени по определенному правилу, — динамическая.

Мы можем представить газ как одну частицу, движущуюся в двух измерениях и описывающую некоторую траекторию. Конечно, движение газа сложнее, но качественные характеристики примерно такие же.

Если взять динамическую систему и начать вычислять ее траектории исходя из различных начальных условий, мы получим рисунок, похожий на приведенный ниже.

Это говорит о том, что несмотря на сложное поведение, такие динамические системы, как газ вне состояния равновесия, демонстрируют некоторые закономерности, которые можно определить, изучив траектории. Если мы обратим внимание на рисунок, то увидим, что наша система стремится приблизиться к некоторым областям фазового пространства. Эти области называются аттракторами, они бывают различных типов, с разными характеристиками. Если предоставить динамической системе для изменения достаточно времени, любая из них будет стремиться к аттрактору, поскольку все траектории ведут к ним.

Аттрактор необязательно должен быть точкой: это в целом область фазового пространства, которая может быть точкой, плоскостью, некоторым объемом или даже иметь более сложную форму.

Самый простой вид аттракторов — это неподвижная точка, или точка в фазовом пространстве. Если динамическая система находится в этом аттракторе, она из него никуда не передвинется. Вспомним, что динамическая система связана с трансформацией, переходом из одной точки фазового пространства в другую, но если аттрактор — неподвижная точка, то любые трансформации приводят нас в нее же.

Пример такого аттрактора — самое нижнее положение качелей: если человек находится в этой точке, он в ней и останется, если только не будет применять силу. И наоборот, находясь вверху, он стремится к этой нижней точке (это и указывает, что речь идет об аттракторе).

Но аттракторами являются не все неподвижные точки. Мяч на вершине горы представляет собой другую неподвижную точку — репульсор: минимальное воздействие вызовет перемещение мяча от нее. Итак, неподвижные точки, являющиеся аттракторами, совпадают с системами в стабильном равновесии, в то время как неподвижные точки, являющиеся репульсорами, показывают нам, что система находится в состоянии нестабильного равновесия.