Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики | страница 34

Газ с большим пиком слева соответствует большим температурам.

Чтобы сделать это, ему пришлось воспользоваться несколькими математическими теориями. Одни из них, такие как механика Гамильтона, были хорошо приняты в физическом сообществе, но другие, такие как вероятность и статистика, были совершенно новыми. Ниже мы опишем путь, который привел Больцмана к его закону и математическому обоснованию предыдущего графика.

Вспомним, что состояние системы в определенный момент времени может быть выражено лишь одной точкой в фазовом пространстве. Эта точка находится в пространстве из 6N измерений, где 3N используются для уточнения положения каждой из N частиц, а другие 3N — для импульсов. Если позволить системе развиваться, точка будет двигаться по фазовому пространству, описывая некоторую траекторию.

В случае с газом в самом начале мы сталкиваемся с проблемой: мы не знаем, в какой точке фазового пространства он находится. Мы знаем только его давление, объем и температуру, но не положение и не импульс его частиц. Часто мы даже не можем быть уверены в том, сколько их. Как же получить какой-либо прогноз поведения системы, о которой мы знаем так мало?

Для начала оценим наше незнание количественно: возьмем бутылку, наполненную кислородом. Если вместимость бутылки — один литр, то в ней содержится приблизительно 2,6·10^>22 молекул, что означает, что для того, чтобы полностью описать их состояние, нам потребуется это количество чисел, умноженное на шесть, то есть 1,6·10^>23 (2,6·10^>22·6 ~= 1,6·10^>23). Предположим, что мы знаем температуру, объем и давление газа, то есть у нас есть три характеристики. Таким образом процент информации, которой мы владеем, в сравнении с информацией, теоретически нам необходимой, равен:

Неужели с этим смехотворным количеством информации мы можем прогнозировать состояние содержимого бутылки в каждый последующий момент? Хотя это и кажется невероятным, но это так.

Чтобы понять, каким образом мы это делаем, рассмотрим, какую информацию о внутреннем состоянии газа дают нам его давление, объем и температура.

Объем указывает нам, в какой области пространства находятся наши молекулы: нет ни одной молекулы кислорода вне бутылки, что помогает нам ограничить точки фазового пространства, в которых может находиться наш газ. Мы знаем, что возможные положения ограничены объемом сосуда. Понять роль, которую играет давление, несколько сложнее. Давление газа — это сила, которую он оказывает на сосуд, содержащий его, на единицу площади.