измерений и правило для нахождения ее следующего положения. В нашем случае пространство — это пространство положений и импульсов, а правило задано уравнениями Гамильтона. Что произошло бы, если бы мы воспользовались другим правилом? И другим пространством? Мы бы получили другую систему, более общую, которая называется
динамической системой.
Итак, динамическая система — это некое абстрактное пространство, также известное как фазовое пространство, и правило для получения следующего положения исходя из начального. Любая система, которую можно описать таким образом, — динамическая. Это необязательно должны быть физические системы: любой объект, развивающийся во времени, может быть описан как динамическая система. Все выводы, которые мы сможем сделать о динамических системах, будут справедливы для любой системы, которую можно выразить таким же образом. Поскольку количество проявлений, которые можно выразить как динамическую систему, огромно, мы получим мощную теорию с удивительно большим количеством видов применения. Даже человеческий мозг может быть смоделирован подобным образом: состояние каждого нейрона определяет положение в абстрактном пространстве, а правила взаимодействия между нейронами представляют изменение системы. Практически любой процесс, который подразумевает изменение во времени, может быть рассмотрен как динамическая система.
Некоторые динамические системы демонстрируют поведение, которое кажется стихийным, но это справедливо не всегда. Например, камень, брошенный ребенком, описывает параболическую траекторию, и его движение представляет собой динамическую систему, которая при этом полностью предсказуема. Даже динамические системы высокой сложности могут порождать очень простые модели. В целом хаотичное или нехаотичное поведение системы задано как законами, управляющими ею, так и начальными условиями движения.
Теория хаоса изучает динамические системы, поведение которых непредсказуемо, причем хаотичное поведение могут демонстрировать даже простые системы.
Рассмотрим функцию под названием логистическое отображение, которое описывает движение только в одном измерении, с единственной координатой х. Предположим, что мы начинаем с некоторого числа х: логистическое отображение дает нам правило для получения следующего х с помощью простых умножений и вычитаний.
Математическая формула для его нахождения следующая:
x>n + 1 = r·x>n·(1 — x>n),
где r — некий параметр, который мы можем произвольно изменить.
