Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики | страница 20
Увидев третье измерение, главный герой предполагает существование еще большего количества измерений, например четвертого, пятого и шестого, но Сфера не верит ему и возвращает его обратно, во Флатландию, где Квадрат проводит остаток дней в тюрьме, пытаясь убедить соотечественников в том, что в мире больше двух измерений. Этот сюжет очень похож на сюжет мифа о пещере Платона, который, как говорят, поместил на дверях своей Академии изречение: «Не знающий геометрии да не войдет сюда».
В момент публикации «Флатландия» была принята довольно тепло, а после открытия Альбертом Эйнштейном общей теории относительности Эбботта стали считать фантастом за предвидение новых измерений.
Обложка первого издания «Флатландии».
* * *
Мы можем видеть, что объем указывает нам размер областей с тем же количеством измерений, что и наше пространство. Например, у куба три измерения, следовательно, у него есть объем. У квадрата, наоборот, объема нет, поскольку он не имеет толщины. Но у квадрата есть определенная площадь, которая описывает размер объекта с меньшей размерностью, чем наше пространство, в этом случае два.
Рассуждая подобным образом, мы можем расширить понятия объема и площади на пространства с количеством измерений больше трех. Назовем эти новые объем и площадь гиперобъемом и гиперплощадью.
В четырехмерном пространстве, скажем, гиперобъем выражается в единицах измерения длины в четвертой степени, например в м>4. Гиперплощадь имеет на одно измерение меньше и выражается в единицах измерения длины в кубе — м>3; то есть гиперплощадь в четырехмерном пространстве — это как объем в трехмерном. Кажется, что это сложно, но пользуясь математическими инструментами, разработанными для изучения п-мерных пространств, можно не только представить эти гиперобъемы и гиперплощади, но даже определить геометрические тела, подобные привычным нам трехмерным.
Простой пример — сфера. Трехмерная сфера определяется как геометрическая фигура, все точки которой находятся на одном и том же расстоянии от центра; двумерная сфера, круг, определяется точно так же. Подобным же образом мы можем определить четырехмерную гиперсферу как фигуру, у которой все точки равноудалены от центра. Как видите, это определение справедливо для любого количества измерений. То есть n-мерная сфера — это геометрическое тело, все точки которого равноудалены от центра. Объем такой сферы выражается в единицах измерения длины в степени N, где
