Том 42. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики | страница 10
* * *
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
Принцип наименьшего действия гласит, что тела движутся таким образом, что лагранжиан уменьшается как можно быстрее. Однако существует и более точная формулировка, основанная на такой величине, как действие.
Предположим, что мы знаем, как развивается лагранжиан частицы во времени. Сначала представим это развитие графически.
Действие определяется как область под кривой лагранжиана между исходным моментом (t) и конечным моментом (t>1) движения за определенное время. То есть действие — это закрашенная на рисунке область.
Принцип наименьшего действия можно изложить следующим образом: тело движется так, что действие, связанное с его движением, минимально.
Вычисление площади под кривой может потребовать использования анализа бесконечно малых — области математики, разработанной независимо друг от друга Ньютоном и Лейбницем именно для решения физических задач.
* * *
Лагранж действительно воспользовался этой идеей для того, чтобы найти общую форму, которая позволила бы ему определить траекторию, не останавливаясь на вычислении уменьшения лагранжиана.
Теоретически уравнения Эйлера — Лагранжа могли бы использоваться для определения траектории каждой частицы газа, поскольку, как уже было сказано, их легко можно расширить на произвольное число частиц. Однако на практике из-за огромного количества частиц решить эти уравнения невозможно без помощи мощного компьютера.
Одно из основных преимуществ лагранжевой механики состоит в том, что она была определена в терминах обобщенных координат. В отличие от законов Ньютона, она не предполагала использование прямоугольной системы координат, а была справедлива для любых других систем, подходящих для изучения проблемы. Обобщенные координаты необязательно должны быть выражены единицами измерения длины; как мы видели раньше, одна из них может быть углом. Главное требование к таким координатам — они должны быть достаточными для того, чтобы определить положение частицы в некоторой области пространства.
Чтобы отличить обобщенные координаты от прямоугольной системы координат, оси которых названы х, у, z, используется буква q с индексами — q>1, q>2 или q>3. Это очень удобно, когда рассматриваются системы с несколькими частицами, как в случае с газом.
В предыдущем примере с полярными координатами, где положение на плоскости задано расстоянием до центра и углом, можно определить:
