Квадратура круга | страница 4

Так, например, следующая формула

может быть построена (это — сторона правильного описанного десятиугольника). Напротив, простая на вид формула удвоения куба

не может быть построена.

Обращаясь к формуле квадратуры круга,

, мы видим, что она заключает только действия умножения и извлечения квадратного корня, т. е. операции, позволяющие выполнить построение. Однако, в формулу входит число π, и надо установить, допускает ли формула, содержащая это число, выполнение построения. Немецкий математик Ламберт доказал в 1766 г., что число π принадлежит к роду чисел, называемых несоизмеримыми (или иррациональными); такие числа не могут быть точно выражены конечным рядом цифр. Среди не-математиков распространено мнение, что неразрешимость квадратуры круга обусловлена несоизмеримостью числа π, так как нельзя будто бы построить число, выражающееся бесконечным рядом цифр. Это обоснование неправильно. Существует такой род несоизмеримых чисел, которые могут быть построены. В качестве примеров укажем числа и ; они выражаются десятичными дробями с бесконечным рядом цифр после запятой, и тем не менее их легко построить: первое — как сторону вписанного квадрата (рис. 4), второе — как сторону вписанного равностороннего треугольника (рис. 5).

Вообще, все те числа, которые получаются путем однократного или повторного (но не бесконечного) извлечения квадратного корня, могут быть строго геометрически построены.

К этому роду несоизмеримых чисел π не принадлежит. В 1882 г. немецкий математик Линдеман опубликовал исследование, из которого вытекает, что число π не может быть получено в результате конечного ряда извлечений квадратного корня. Теи самым устанавливается невозможность построения формулы квадратуры круга, а следовательно, и неразрешимость этой задачи.

Доказательство неразрешимости какой-либо задачи рассматривается в математике как своего рода решение проблемы, потому что такое утверждение дает вполне исчерпывающий ответ на поставленный вопрос. В этом смысле доказательство Линдемана можно считать решением задачи о квадратуре круга, решением, полагающим конец двухтысячелетней работе над этой проблемой. Продолжают искать другого решения задачи только малосведущие любители. «Таких искателей — писал еще в 18-м столетии математик Ламберт — всегда будет достаточно, и если судить о будущих по их предшественникам, то это будут по большей части люди, мало смыслящие в геометрии и лишенные возможности правильно оценивать свои силы. Там, где им не хватает знания и понимания, где они не могут ничего сделать c помощью правильных последовательных выводов, там жажда славы и денег создает софизмы, которые чаще всего не отличаются ни особой тонкостью, ни особой замысловатостью».