Эйнштейн. Теория относительности. Пространство – это вопрос времени | страница 55

Если в евклидовом пространстве квадрат расстояния между двумя ближайшими точками (ds) определяется как ds² = dx² + dy² + dz² , то в пространстве Минковского аналогичный ему квадрат интервала равен ds² = dx² + dy² + dz² – c² dt² .

В результате умножения скорости света с (в международной системе она измеряется в м/с) на t (в секундах) четвертая переменная обретает ту же размерность, что и три пространственные переменные. Величина ds² инвариантна. Измерив ее в двух разных системах координат (х, у, z, t) и (х', у', z', t’), мы получим один и тот же результат:

ds² =dх² + dу² +dz² -c² dt² 

                                                          => c/s² =c/s'²

ds'² = dx'² +dy'² + dz'² – c² dt'²

Стремясь соединить две системы координат так, чтобы выполнялось равенство ds² = ds'² , мы приходим к уравнениям Лоренца. Извлечем метрическую функцию из формулы ds² :

В этом случае составляющие g с постоянными значениями образуют плоскость без каких-либо искривлений и неровностей. Ее геодезические линии прямые, но из- за изменения знака временной координаты они соответствуют не кратчайшей дистанции между двумя точками пространства-времени, а наиболее длинной.

Чтобы рассмотреть это подробнее, используем трехмерную параболу. Поставим стержень вертикально около стены и осветим его двумя прожекторами, сверху и сбоку. Тень, отбрасываемая благодаря вертикальному прожектору, будет иметь вид точки на полу, а с помощью бокового прожектора на стену упадет тень от всего стержня (рисунок 15).

Если теперь мы начнем наклонять стержень (в плоскости, определяемой двумя источниками света), то тень на полу будет расти, в то время как тень на стене – уменьшаться (рисунок 16).

РИС. 15

РИС. 16

РИС. 17

Переведя стержень в горизонтальное положение, мы увидим ситуацию, обратную начальной: тень на стене имеет вид точки, в то время как тень на полу равна всей длине стержня (рисунок 17).

Можно сказать, что пол и стена – это двумерные плоскости, обитатели которых могут наблюдать, как стержень укорачивается (в пространстве) и удлиняется (во времени). А мы получили геометрическую интерпретацию сжатия Лоренца и временного расширения. Обитатели наших двумерных поверхностей могли бы обеспокоиться, обнаружив, что длина стержня меняется при движении. Однако они могли бы разработать трехмерную математическую модель и прийти к выводу, что эти изменения иллюзорны. Во время движения стержня меняются исключительно размеры теней, а длина самого стержня в пространстве с большим количеством измерений остается неизменной.